Bài 4 trang 120

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi G1G1{G_1} và G2G2{G_2} lần lượt là trọng tâm của hai tam giác BDA′BDA′BDA' và B′D′CB′D′CB'D'C. Chứng minh G1G1{G_1} và G2G2{G_2} chia đoạn ACACAC thành ba phần bằng nhau.

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Gọi $G_{1}$ và $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $B D A^{'}$ và $B^{'} D^{'} C$ . Chứng minh $G_{1}$ và $G_{2}$ chia đoạn $A C$ thành ba phần bằng nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng tính chất hình hộp.

‒ Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.

Lời giải chi tiết

Gọi $O = A C \cap B D, O^{'} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}, I = A C^{'} \cap A^{'} C$

Vì $A A^{'} ∥ C C^{'}, A A^{'} = C C^{'}$ theo tính chất hình hộp nên $A A^{'} C^{'} C$ là hình bình hành $\Rightarrow I$ là trung điểm của $A C^{'}$ và $A^{'} C$ .

Ta có: $G_{1}$ là trọng tâm của tam giác $B D A^{'} \Rightarrow \frac{A^{'} G_{1}}{A^{'} O} = \frac{2}{3}$

Tam giác $A A^{'} C$ có $\frac{A^{'} G_{1}}{A^{'} O} = \frac{2}{3}$ nên $G_{1}$ là trọng tâm của tam giác $A A^{'} C$

Mà $I$ là trung điểm của $A^{'} C$ nên $\frac{A G_{1}}{A I} = \frac{2}{3} \Rightarrow A G_{1} = \frac{2}{3} A I$

Mà $A I = \frac{1}{2} A C^{'}$

$\Rightarrow A G_{1} = \frac{1}{3} A C^{'} (1)$

Ta có: $G_{2}$ là trọng tâm của tam giác $B^{'} D^{'} C \Rightarrow \frac{C G_{2}}{C O^{'}} = \frac{2}{3}$

Tam giác $A C C^{'}$ có $\frac{C G_{2}}{C O^{'}} = \frac{2}{3}$ nên $G_{2}$ là trọng tâm của tam giác $A C C^{'}$

Mà $I$ là trung điểm của $A C^{'}$ nên $\frac{C^{'} G_{2}}{C^{'} I} = \frac{2}{3} \Rightarrow C^{'} G_{2} = \frac{2}{3} C^{'} I$

Mà $C^{'} I = \frac{1}{2} A C^{'}$

$\Rightarrow C^{'} G_{2} = \frac{1}{3} A C^{'} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $G_{1}$ và $G_{2}$ chia đoạn $A C$ thành ba phần bằng nhau.