Bài 4 trang 15

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$;

c) $\tan \alpha =3$ với $-\pi <\alpha <0$;

d) $\cot \alpha =-2$ với $0<\alpha <\pi$.

Lời giải chi tiết

a)  Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$,

mà $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ nên ${\cos }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{16}$.

Lại có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{4}$.

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=-\sqrt{15}$; $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{15}}$.

b) Ta có ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$,

mà $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ nên ${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{-2}{3}\right)}^2=1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}$.

Lại có $-\pi <\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2}$; $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

c) Ta có $\tan \alpha =3$ nên $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+3^2=10\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$.

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}$.

Vì $-\pi <\alpha <0$ nên $\sin \alpha <0$, do đó $\sin \alpha =-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Vì $\sin \alpha <0$, $\tan \alpha =3>0$ nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

d) Ta có $\cot \alpha =-2$ nên $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=1+{\cot }^2\alpha =1+(-2{)}^2=5\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$.

Mà ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$.

Vì $0<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Vì $\cot \alpha =-2<0$ và $\sin \alpha >0$ nên $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.