Bài 4 trang 40

Đề bài

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ ${40}^{\circ }$ Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: $d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12$ với $t\in Z$ và $0<t\le 365$.

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Lời giải chi tiết

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t) = 12.

Khi đó

$\begin{array}{c}12=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12\\ \iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=0\\ \iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=\sin 0\\ \iff \frac{\pi }{182}\left(t-80\right)=k\pi \\ \iff t=80+182k;k\in Z\end{array}$

Mà $t\in Z$ và $0<t\le 365$ nên

 $\begin{array}{c}0<80+182k\le 365\\ \Rightarrow 0\le k\le 1,56\end{array}$

Suy ra $k\in \left\{0;1\right\}$

Khi đó $t\in \left\{80;262\right\}$

Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và 262 trong năm

b) Thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t) = 9.

Khi đó

$\begin{array}{c}9=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12\\ \iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=-1\\ \iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\\ \iff \frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \iff t=-11+364k;k\in Z\end{array}$

Mà $t\in Z$ và $0<t\le 365$ nên

$\begin{array}{c}0<-11+364k\le 365\\ \Rightarrow 0<k\le 1,03\end{array}$.

Suy ra $k=1$.

Khi đó $t=-11+364.1=353$.

Vậy Thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

c) Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t) = 15.

Khi đó

$\begin{array}{c}15=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12\\ \iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=1\\ \iff \sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\\ \iff \frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \iff t=171+364k;k\in Z\end{array}$

Mà $t\in Z$ và $0<t\le 365$ nên

$\begin{array}{c}0<171+364k\le 365\\ \Rightarrow 0\le k\le 0,53\end{array}$.

Suy ra $k=0$.

Khi đó $t=171+364.0=171$.

Vậy Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm.