Bài 4 trang 50

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

Đề bài

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $(a_{n})$ với $a_{n} = \sin^{2} \frac{n π}{3} + \cos \frac{n π}{4}$ ;

b) $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{6 n - 4}{n + 2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

a) $\forall n \in N^{*}$ ta có:

$\begin{array}{l} 0 \leq \sin^{2} \frac{n π}{3} \leq 1 \\ - 1 \leq \cos \frac{n π}{4} \leq 1 \end{array}} \Leftrightarrow 0 + (- 1) \leq \sin^{2} \frac{n π}{3} + \cos \frac{n π}{4} \leq 1 + 1 \Leftrightarrow - 1 \leq a_{n} \leq 2$ .

Vậy dãy số $(a_{n})$ bị chặn.

b) Ta có: $u_{n} = \frac{6 n - 4}{n + 2} = \frac{6 (n + 2) - 16}{n + 2} = 6 - \frac{16}{n + 2}$

$\forall n \in N^{*}$ ta có:

$n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{16}{n + 2} > 0 \Leftrightarrow 6 - \frac{16}{n + 2} < 6 \Leftrightarrow u_{n} < 6$ . Vậy $(u_{n})$ bị chặn trên.

$n \geq 1 \Leftrightarrow n + 2 \geq 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \geq 3 \Leftrightarrow \frac{16}{n + 2} \leq \frac{16}{3} \Leftrightarrow 6 - \frac{16}{n + 2} \geq 6 - \frac{16}{3} \Leftrightarrow u_{n} \geq \frac{2}{3}$

Vậy $(u_{n})$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $(u_{n})$ bị chặn.