Bài 4 trang 56

Đề bài

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với $u_1=3;u_3=\frac{27}{4}$.

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $u_3=u_1.q^2\iff \left(\frac{27}{4}\right)=3.q^2\iff q=\frac{3}{2}$ hoặc $q=-\frac{3}{2}$.

TH1: $q=\frac{3}{2}$.

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: $3;\frac{9}{2};\frac{27}{4};\frac{81}{8};\frac{243}{16}$.

TH2: $q=-\frac{3}{2}$.

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: $3;-\frac{9}{2};\frac{27}{4};-\frac{81}{8};\frac{243}{16}$.

b) Tổng 10 số hạng đầu:

TH1: $q=\frac{3}{2}$.

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{3\left(1-{\left(\frac{3}{2}\right)}^{10}\right)}{1-\frac{3}{2}}$

$=\frac{3.\frac{-58025}{1024}}{1-\frac{3}{2}}=\frac{-174075}{1024}.\left(-2\right)=\frac{174075}{512}$.

TH2: $q=-\frac{3}{2}$.

$S_n=u_1.\frac{1-q^n}{1-q}=3.\frac{1-{\left(-\frac{3}{2}\right)}^{10}}{1-\left(-\frac{3}{2}\right)}=-\frac{11605}{512}$.