Bài 4 trang 56

Cho tứ diện đều (ABCD) cạnh (a). Gọi (K) là trung điểm của (CD).

Đề bài

Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh $a$ . Gọi $K$ là trung điểm của $C D$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $A K$ và $B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ :

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a^{'} ∥ a$ và đường thẳng $b^{'} ∥ b$ .

Bước 3: Tính $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm của $B D$ .

Ta có: $I$ là trung điểm của $B D$

$K$ là trung điểm của $C D$

$\Rightarrow I K$ là đường trung bình của tam giác $B C D$

$\Rightarrow I K ∥ B C \Rightarrow (A K, B C) = (A K, I K) = ˆ A K I$

$I K = \frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$

$A I$ là trung tuyến của tam giác $A B D$ $\Rightarrow A I = \frac{\sqrt{2 (A B^{2} + A D^{2}) - B D^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$A K$ là trung tuyến của tam giác $A C D$ $\Rightarrow A K = \frac{\sqrt{2 (A C^{2} + A D^{2}) - C D^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác $A I K$ có:

$cos ˆ A K I = \frac{A K^{2} + I K^{2} - A I^{2}}{2. A K . I K} = \frac{\sqrt{3}}{6} \Rightarrow ˆ A K I \approx 73^{\circ} 13^{'}$

Vậy $(A K, B C) \approx 73^{\circ} 13^{'}$ .