Bài 4 trang 60

Ba số 2b−a,1b,2b−c2b−a,1b,2b−c\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}} theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a,b,ca,b,ca,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Đề bài

Ba số $\frac{2}{b - a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b - c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh $b^{2} = a c$ .

Lời giải chi tiết

Ba số $\frac{2}{b - a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b - c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

$\begin{array}{l} \frac{2}{b - a} + \frac{2}{b - c} = 2. \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{b - a} + \frac{1}{b - c} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{(b - c) + (b - a)}{(b - a) (b - c)} = \frac{1}{b} \\ \Leftrightarrow \frac{b - c + b - a}{b^{2} - a b - b c + a c} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{2 b - c - a}{b^{2} - a b - b c + a c} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow b (2 b - c - a) = b^{2} - a b - b c + a c \\ \Leftrightarrow 2 b^{2} - b c - a b = b^{2} - a b - b c + a c \Leftrightarrow b^{2} = a c \end{array}$ .

Vậy ba số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.