Bài 4 trang 64

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A = S B = S C = a$ , $\hat{A S B} = 90^{\circ}$ , $\hat{B S C} = 60^{\circ}$ và $\hat{A S C} = 120^{\circ}$ . Gọi $I$ là trung điểm cạnh $A C$ . Chứng minh $S I ⊥ (A B C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác $S A C$ có:

$A C = \sqrt{S A^{2} + S C^{2} - 2. S A . S C . \cos \hat{A S C}} = a \sqrt{3}$ .

$S I$ là trung tuyến $\Rightarrow S I = \frac{\sqrt{2 (S A^{2} + S C^{2}) - A C^{2}}}{2} = \frac{a}{2}$ .

Ta có: $S I^{2} + A I^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} = a^{2} = S A^{2}$ .

$\Rightarrow Δ S A I$ vuông tại $I \Rightarrow S I ⊥ A C$ .

Xét tam giác $S A B$ vuông tại $S$ có:

$A B = \sqrt{S A^{2} + S B^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác $S B C$ cân tại $S$ có $\hat{B S C} = 60^{\circ}$ nên tam giác $S B C$ đều. Vậy $B C = a$ .

Xét tam giác $A B C$ có:

$A B^{2} + B C^{2} = {(a \sqrt{2})}^{2} + a^{2} = 3 a^{2} = A C^{2}$ .

$\Rightarrow Δ A B C$ vuông tại $B \Rightarrow B I = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác $S B I$ có:

$S I^{2} + B I^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} = a^{2} = S B^{2}$ .

$\Rightarrow Δ S B I$ vuông tại $I \Rightarrow S I ⊥ B I$ .

Ta có: $\begin{array}{l} S I ⊥ A C \\ S I ⊥ B I \end{array}} \Rightarrow S I ⊥ (A B C)$ .