Bài 4 trang 70

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

Đề bài

a) Kí hiệu $a_{n}$ là diện tích của hình vuông thứ $n$ và $S_{n}$ là tổng diện tích của $n$ hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính $a_{n}, S_{n} (n = 1, 2, 3, . . .)$ và tìm $lim S_{n}$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu $p_{n}$ là chu vi của hình vuông thứ $n$ và $Q_{n}$ là tổng chu vi của $n$ hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính $p_{n}$ và $Q_{n} (n = 1, 2, 3, . . .)$ và tìm $lim Q_{n}$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm cạnh của hình vuông thứ $n$ dựa vào cạnh của hình vuông thứ $n - 1$ .

Bước 2: Tính chu vi và diện tích của hình vuông thứ $n$ .

Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ :

$S = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . = \frac{u_{1}}{1 - q}$

Lời giải chi tiết

a) Gọi $u_{n}$ là độ dài cạnh của hình vuông thứ n.

Đường chéo của hình vuông thứ n có độ dài là $u_{n} \sqrt{2}$ .

Độ dài cạnh hình vuông thứ n + 1 bằng nửa độ dài đường chéo hình vuông thứ n nên ta có:

$u_{n + 1} = \frac{u_{n} \sqrt{2}}{2} = u_{n} . \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Từ đó ta thấy $(u_{n})$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Vậy $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1} = 1. {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{n - 1} = \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n - 1}}, n = 1, 2, 3, . . .$

Diện tích của hình vuông thứ $n$ là: $a_{n} = u_{n}^{2} = {(\frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n - 1}})}^{2} = \frac{1}{2^{n - 1}}, n = 1, 2, 3, . . .$

Vậy $S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + . . . + \frac{1}{2^{n - 1}}$

Đây là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = \frac{1}{2}$ .

Vậy $S_{n} = 1. \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

$lim S_{n} = lim 2 (1 - \frac{1}{2^{n}}) = 2 (1 - lim \frac{1}{2^{n}}) = 2 (1 - 0) = 2$ .

b) Chu vi của hình vuông thứ $n$ là: $p_{n} = 4 u_{n} = 4. \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n - 1}} = \frac{4}{{(\sqrt{2})}^{n - 1}}, n = 1, 2, 3, . . .$

Vậy $Q_{n} = 4 + \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{4}{{(\sqrt{2})}^{2}} + . . . + \frac{4}{{(\sqrt{2})}^{n - 1}} = 4 (1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{2}} + . . . + \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n - 1}})$

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{2}} + . . . + \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n - 1}}$ là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 1$ , công bội $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Vậy $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{2}} + . . . + \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n - 1}} = 1. \frac{1 - {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{n}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = (2 + \sqrt{2}) (1 - \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n}})$ .

$\Rightarrow Q_{n} = 4 (2 + \sqrt{2}) (1 - \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n}})$

$\begin{array}{l} lim Q_{n} = lim 4 (2 + \sqrt{2}) (1 - \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n}}) = 4 (2 + \sqrt{2}) (1 - lim \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n}}) \\ = 4 (2 + \sqrt{2}) (1 - 0) = 4 (2 + \sqrt{2}) \end{array}$ .