Bài 4 trang 72

Tính các giới hạn sau: a) (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{9x + 1}}{{3x - 4}};) b) (mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{7x - 11}}{{2x + 3}};) c) (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x};) d) (mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x};)

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) $lim_{x \to + \infty} \frac{9 x + 1}{3 x - 4};$

b) $lim_{x \to - \infty} \frac{7 x - 11}{2 x + 3};$

c) $lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x};$

d) $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x};$

e) $lim_{x \to 6^{-}} \frac{1}{x - 6};$

g) $lim_{x \to 7^{+}} \frac{1}{x - 7} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng định lí về phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số.

- Sử dụng giới hạn cơ bản sau: $lim_{x \to a^{+}} \frac{1}{x - a} = + \infty; lim_{x \to a^{-}} \frac{1}{x - a} = - \infty$

Lời giải chi tiết

a) $lim_{x \to + \infty} \frac{9 x + 1}{3 x - 4} = lim_{x \to + \infty} \frac{x (9 + \frac{1}{x})}{x (3 - \frac{4}{x})} = lim_{x \to + \infty} \frac{9 + \frac{1}{x}}{3 - \frac{4}{x}} = \frac{9 + 0}{3 - 0} = 3$

b) $lim_{x \to - \infty} \frac{7 x - 11}{2 x + 3} = lim_{x \to - \infty} \frac{x (7 - \frac{11}{x})}{x (2 + \frac{3}{x})} = lim_{x \to - \infty} \frac{7 - \frac{11}{x}}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{7 - 0}{2 + 0} = \frac{7}{2}$

c) $lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x} = lim_{x \to + \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{1 + 0} = 1$

d) $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{- x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x} = lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} = - \sqrt{1 + 0} = - 1$

e) Ta có: ${\begin{cases} 1 > 0 \\ x - 6 < 0, x \to 6^{-} \end{cases}$

Do đó, $lim_{x \to 6^{-}} \frac{1}{x - 6} = - \infty$

g) Ta có: ${\begin{cases} 1 > 0 \\ x + 7 > 0, x \to 7^{+} \end{cases}$

Do đó, $lim_{x \to 7^{+}} \frac{1}{x - 7} = + \infty$