Bài 4 trang 74

Cho hình hộp đứng (ABCD.A'B'C'D') có đáy là hình thoi. Cho biết (AB = BD = a,A'C = 2a).

Đề bài

Cho hình hộp đứng $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy là hình thoi. Cho biết $A B = B D = a, A^{'} C = 2 a$ .

a) Tính độ dài đoạn thẳng $A A^{'}$ .

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí Pitago.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác $A B D$ có: $A B = A D = B D = a$

$\Rightarrow Δ A B D$ đều $\Rightarrow \hat{B A D} = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{A B C} = 180^{\circ} - \hat{B A D} = 120^{\circ}$

Xét tam giác $A B C$ có:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C} = a \sqrt{3}$

$A A^{'} ⊥ (A B C D) \Rightarrow A A^{'} ⊥ A C \Rightarrow Δ A A^{'} C$ vuông tại $A$

$\Rightarrow A A^{'} = \sqrt{A^{'} C^{2} - A C^{2}} = a$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} S_{A B C D} = S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} \\ S_{A B B^{'} A^{'}} = S_{C {D D}^{'} C^{'}} = A B . A A^{'} = a^{2} \\ S_{A {D D}^{'} A^{'}} = S_{B C C^{'} B^{'}} = A D . A A^{'} = a^{2} \end{array}$

Tổng diện tích các mặt của hình hộp là:

$S = S_{A B C D} + S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} + S_{A B B^{'} A^{'}} + S_{C {D D}^{'} C^{'}} + S_{A {D D}^{'} A^{'}} + S_{B C C^{'} B^{'}} = 2. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4. a^{2} = (4 + \sqrt{3}) a^{2}$