Bài 4 trang 79

Tính các giới hạn sau: a) (mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}); b) (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}});

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) $lim_{x \to - \infty} \frac{6 x + 8}{5 x - 2}$ ;

b) $lim_{x \to + \infty} \frac{6 x + 8}{5 x - 2}$ ;

c) $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} - x + 1}}{3 x - 2}$ ;

d) $lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} - x + 1}}{3 x - 2}$ ;

e) $lim_{x \to - 2^{-}} \frac{4}{2 x + 4}$ ;

g) $lim_{x \to - 2^{+}} \frac{4}{2 x + 4}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng phương pháp:

- Chia cả tử và mẫu cho $x^{n}$ , với n là số mũ cao nhất trong biểu thức đối với câu a, b.

- Câu c, d: $\sqrt{x^{2}} = | x | = {\begin{cases} x, x \to + \infty \\ - x, x \to - \infty \end{cases}$

- Câu d, e sử dụng giới hạn cơ bản sau: $lim_{x \to a^{+}} \frac{1}{x - a} = + \infty; lim_{x \to a^{-}} \frac{1}{x - a} = - \infty$ .

Lời giải chi tiết

a) $lim_{x \to - \infty} \frac{6 x + 8}{5 x - 2} = lim_{x \to - \infty} \frac{x (6 + \frac{8}{x})}{x (5 - \frac{2}{x})} = \frac{6}{5}$

b) $lim_{x \to + \infty} \frac{6 x + 8}{5 x - 2} = lim_{x \to + \infty} \frac{x (6 + \frac{8}{x})}{x (5 - \frac{2}{x})} = lim_{x \to + \infty} \frac{6 + \frac{8}{x}}{5 - \frac{2}{x}} = \frac{6}{5}$ .

c) $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} - x + 1}}{3 x - 2} = lim_{x \to - \infty} \frac{- x \sqrt{9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{x (3 - \frac{2}{x})} = - \frac{3}{3} = - 1$ .

d) $lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} - x + 1}}{3 x - 2} = lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{x (3 - \frac{2}{x})} = \frac{3}{3} = 1$ .

e) $lim_{x \to - 2^{-}} \frac{4}{2 x + 4} = - \infty$ vì:

$lim_{x \to - 2^{-}} 4 = 4$ ;

$lim_{x \to - 2^{-}} (2 x + 4) = 0$ và $x < - 2 \Rightarrow 2 x + 4 < 0$ .

g) $lim_{x \to - 2^{+}} \frac{4}{2 x + 4} = + \infty$ vì:

$lim_{x \to - 2^{+}} 4 = 4$ ;

$lim_{x \to - 2^{+}} (2 x + 4) = 0$ và $x > - 2 \Rightarrow 2 x + 4 > 0$ .