Bài 4 trang 81

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left(A^{\prime }BC\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng ${60}^{\circ }$.

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

b) Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.

Tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow AI\perp BC$

Tam giác $A^{\prime }BC$ cân tại $A^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }I\perp BC$

$\Rightarrow \left(\left(A^{\prime }BC\right),\left(ABC\right)\right)=\left(A^{\prime }I,AI\right)=\widehat{AI{A}^{\prime }}={60}^{\circ }$

Tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow AI=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A{A}^{\prime }=AI.\tan \widehat{AI{A}^{\prime }}=\frac{3a}{2}$

b) $S_{\Delta ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=S_{\Delta ABC}.A{A}^{\prime }=\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$