Bài 4 trang 85 - Bài tập cuối chương 3

Đề bài

Hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{x}^2+2x+m& khix\ge 2\\ 3& khix<2\end{array}$ liên tục tại $x=2$ khi:

A. $m=3$.                            

B. $m=5$.                            

C. $m=-3$.                         

D. $m=-5$.

Lời giải chi tiết

Trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$, $f\left(x\right)$ là hàm đa thức nên liên tục trên từng khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

Ta có: $f\left(2\right)=2^2+2.2+m=m+8$

$\begin{array}{c}\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(x^2+2x+m\right)=2^2+2.2+m=m+8\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(3\right)=3\end{array}$

Để hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục liên tục tại $x=2$ thì

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(2\right)\iff m+8=3\iff m=-5$.

Vậy với $m=-5$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tại $x=2$.

Chọn D.