Bài 4 trang 85

Cho hàm số f(x)=2x−sinx,g(x)=√x−1f(x)=2x−sin⁡x,g(x)=x−1f\left( x \right) = 2x - \sin x,g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} .

Đề bài

Cho hàm số $f (x) = 2 x - \sin x, g (x) = \sqrt{x - 1}$ .

Xét tính liên tục hàm số $y = f (x) . g (x)$ và $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét tính liên tục của các hàm số $f (x)$ và $g (x)$ sau đó áp dụng định lí về tính liên tục của tích, thương hai hàm số.

Lời giải chi tiết

• Xét hàm số $f (x) = 2 x - \sin x$ có tập xác định $D = R$ .

Vậy hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ .

• Xét hàm số $g (x) = \sqrt{x - 1}$

ĐKXĐ: $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

Hàm số $g (x) = \sqrt{x - 1}$ có tập xác định $D = [1; + \infty)$ .

Hàm số $g (x) = \sqrt{x - 1}$ là hàm căn thức nên liên tục trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Ta có: $lim_{x \to 1^{+}} g (x) = lim_{x \to 1^{+}} \sqrt{x - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0 = g (1)$

Do đó hàm số $g (x) = \sqrt{x - 1}$ liên tục tại điểm $x_{0} = 1$ .

Vậy hàm số $g (x) = \sqrt{x - 1}$ liên tục trên nửa khoảng $[1; + \infty)$ .

• Xét hàm số $y = f (x) . g (x) = (2 x - \sin x) \sqrt{x - 1}$

Do hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ đều liên tục tại mọi điểm $x_{0} \in [1; + \infty)$ nên hàm số $y = f (x) . g (x)$ liên tục trên nửa khoảng $[1; + \infty)$ .

• Xét hàm số $y = \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{2 x - \sin x}{\sqrt{x - 1}}$

Do hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x)$ đều liên tục tại mọi điểm $x_{0} \in [1; + \infty)$ nên hàm số $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ liên tục trên khoảng $(1; + \infty)$ .