Bài 4 trang 99

Cho tứ diện ABCDABCDABCD. Gọi E,F,GE,F,GE,F,G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB,AC,BDAB,AC,BDAB,AC,BD sao cho EFEFEF cắt BCBCBC tại I(I≠C)I(I≠C)I\left( {I \ne C} \right), EGEGEG cắt ADADA{\rm{D}} tại H(H≠D)H(H≠D)H\left( {H \ne D} \right).

Đề bài

Cho tứ diện $A B C D$ . Gọi $E, F, G$ lần lượt là ba điểm trên ba cạnh $A B, A C, B D$ sao cho $E F$ cắt $B C$ tại $I (I \neq C)$ , $E G$ cắt $A D$ tại $H (H \neq D)$ .

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng $(E F G)$ và $(B C D)$ ; $(E F G)$ và $(A C D)$ .

b) Chứng minh ba đường thẳng $C D, I G, H F$ cùng đi qua một điểm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó.

‒ Để chứng minh ba đường thẳng $C D, I G, H F$ cùng đi qua một điểm, ta chứng minh $H, F$ và giao điểm của $C D, I G$ thẳng hàng bằng cách chứng minh ba điểm cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} G \in (E F G) \\ G \in B D \subset (B C D) \end{array}} \Rightarrow G \in (E F G) \cap (B C D) \\ \begin{array}{l} I \in E F \subset (E F G) \\ I \in B C \subset (B C D) \end{array}} \Rightarrow I \in (E F G) \cap (B C D) \end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(E F G)$ và $(B C D)$ là đường thẳng $G I$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} F \in (E F G) \\ F \in A C \subset (A C D) \end{array}} \Rightarrow F \in (E F G) \cap (A C D) \\ \begin{array}{l} H \in E G \subset (E F G) \\ H \in A D \subset (A C D) \end{array}} \Rightarrow H \in (E F G) \cap (A C D) \end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(E F G)$ và $(A C D)$ là đường thẳng $H F$ .

b) Gọi $J$ là giao điểm của $C D$ và $I G$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} J \in I G \subset (E F G) \\ J \in C D \subset (A C D) \end{array}} \Rightarrow J \in (E F G) \cap (A C D)$

Mà $F \in (E F G) \cap (A C D), H \in (E F G) \cap (A C D)$ (theo chứng minh phần a).

Do đó ba điểm $H, F, J$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $C D, I G, H F$ cùng đi điểm $J$ .