Bài 4. Vi phân

LG a

\(y = {{\sqrt x } \over {a + b}}\) (a và b là các hằng số)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức dy=y'dx.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y' = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{a + b}}} \right)' \) \(= \frac{1}{{a + b}}.\left( {\sqrt x } \right)'\) \( = \frac{1}{{a + b}}.\frac{1}{{2\sqrt x }} \) \(  = \frac{1}{{2\left( {a + b} \right)\sqrt x }}\)

\( \Rightarrow dy = {1 \over {2\left( {a + b} \right)\sqrt x }}dx\)

LG b

\(y = x\sin x\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \sin x + x\cos x\)

\(\Rightarrow dy = y'dx = \left( {\sin x + x\cos x} \right)dx\)

LG c

\(y = {x^2} + {\sin ^2}x\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {{x^2} + {{\sin }^2}x} \right)' \) \(= 2x + 2\sin x\cos x = 2x + \sin 2x\)

Vậy \(dy = y'dx = \left( {2x + \sin 2x} \right)dx\)

LG d

\(y = {\tan ^3}x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \left( {{{\tan }^3}x} \right)' \) \(= 3{\tan ^2}x.\left( {\tan x} \right)' \) \(= 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \) \( = 3{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\)

\(dy = y'dx = 3{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\)

trithuchub.com

LG a

\({1 \over {0,9995}}\)

Phương pháp giải:

Công thức (2): \(f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over x},\,\text{ ta có }\,f'\left( x \right) = {{ - 1} \over {{x^2}}}\)

Đặt \({x_0} = 1,\Delta x =  - 0,0005\) và áp dụng công thức gần đúng

\(f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x\)

Ta được : \({1 \over {{x_0} + \Delta x}} \approx {1 \over {{x_0}}} - {1 \over {x_0^2}}.\Delta x,\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{1 + \left( { - 0,0005} \right)}} \approx \frac{1}{1} - \frac{1}{{{1^2}}}.\left( { - 0,0005} \right)\)

Hay : \({1 \over {0,9995}} \approx 1 + 0,0005 = 1,0005\)

LG b

 \(\sqrt {0,996} \)

Lời giải chi tiết:

Xét

\(\eqalign{  & f\left( x \right) = \sqrt x \,\text{ ta có }\,f'\left( x \right) = {1 \over {2\sqrt x }}  \cr  & {x_0} = 1,\Delta x =  - 0,004  \cr  & f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x  \cr  & \Rightarrow \sqrt {{x_0} + \Delta x}  \approx \sqrt {{x_0}}  + \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\Delta x \cr &\Leftrightarrow \sqrt {1 + \left( { - 0,004} \right)}  \approx \sqrt 1  + \frac{1}{{2\sqrt 1 }}.\left( { - 0,004} \right)\cr &  \Leftrightarrow \sqrt {0,996}  \approx 1 - {1 \over 2}.0,004 = 0,998 \cr} \)

LG c

\(\cos 45^\circ 30'\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f(x) = \cos x\), ta có: \(f'\left( x \right) =  - \sin x.\)

Đặt \({x_0} = {\pi  \over 4},\Delta x = {\pi  \over {360}}\)

(Vì \({\pi  \over {360}} = 30'\) ) và áp dụng công thức gần đúng trên, ta được :

  \(\eqalign{  & \cos \left( {{\pi  \over 4} + {\pi  \over {360}}} \right) \approx \cos {\pi  \over 4} - \sin \left( {{\pi  \over 4}} \right).{\pi  \over {360}}  \cr  & \text{Vậy }\,\cos 45^\circ 30' \approx {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{\pi  \over {360}} \approx 0,7009 \cr} \)

trithuchub.com