Bài 5.1 trang 109

Tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim}limits_{n to + infty } frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}); b) (mathop {lim}limits_{n to + infty } left( {sqrt {{n^2} + 2n} - n} right))

Đề bài

Tìm các giới hạn sau:

a) $lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$ ;

b) $lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n)$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chia cả tử và mẫu cho $x^{n}$ , với n là bậc cao nhất.

b) Nhân với biểu thức liên hợp:

$(\sqrt{A} - B) . (\sqrt{A} + B) = A - B^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) $lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} + 1}$

$= lim_{n \to + \infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

b) $lim_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n)$

$= lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n}$

$= lim_{n \to + \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} = 1$ .