Bài 5.15 trang 122

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: a) (fleft( x right) = frac{x}{{{x^2} + 5x + 6}}) b) (fleft( x right) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}{1 + {x^2};,;x < 1}{4 - x;;,;x ge 1}end{array}} right.)

Đề bài

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$ .

b) $f (x) = {\begin{matrix} 1 + x^{2}, x < 1 \\ 4 - x, x \geq 1 \end{matrix}$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hàm đa thức, phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.

Hàm số $f (x)$ liên tục trên khoảng $(a, b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

Hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a, b)$ và $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ , $lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$ .

Lời giải chi tiết

a) $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{x}{(x + 2) (x + 3)}$ .

Tập xác định của $f (x) : D = R ∖ {- 2; - 3}$ .

Suy ra $f (x)$ liên tục trên $(- \infty; - 3), (- 3; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ .

b) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có:

$lim_{x \to 1^{+}} (4 - x) = 3, lim_{x \to 1^{-}} (1 + x^{2}) = 2$ .

Do đó không tồn tại giới hạn $lim_{x \to 1} f (x)$ .

Vậy hàm số gián đoạn tại 1.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $(- \infty; 1), (1; + \infty)$ .