Bài 5.19 trang 123

Đề bài

Cho $u_n=\frac{2+2^2+\dots +2^n}{2^n}$. Giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$ bằng

A. 1                                        

B. 2                                         

C. -1                                       

D. 0

Lời giải chi tiết

Ta có: $2+2^2+...+2^n$ là tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là $u_1=2$, $q=2$.

Do đó, $2+2^2+...+2^n=\frac{2.(1-2^n)}{1-2}=-2(1-2^n)$.

Khi đó, $u_n=\frac{2+2^2+...+2^n}{2^n}=\frac{-2(1-2^n)}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n=\underset{n\to +\infty }{lim}\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2$.

Đáp án: B.