Bài 5.26 trang 124

Tìm giới hạn của các dãy số sau: a) ({u_n} = frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}); b) ({v_n} = mathop sum limits_{k = 0}^n frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}); c) ({w_n} = frac{{sin n}}{{4n}})

Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) $u_{n} = \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2}$ ;

b) $v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{3^{k} + 5^{k}}{6^{k}}$ ;

c) $w_{n} = \frac{\sin n}{4 n}$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

a) $lim u_{n} = lim \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2}$

$= lim (\frac{1}{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{n^{2}}}) = \frac{1}{3}$ .

b) $v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{3^{k} + 5^{k}}{6^{k}}$

$= \frac{3^{0} + 5^{0}}{6^{0}} + \frac{3^{1} + 5^{1}}{6^{1}} + . . . + \frac{3^{n} + 5^{n}}{6^{n}}$

$= \frac{3^{0}}{6^{0}} + \frac{5^{0}}{6^{0}} + \frac{3^{1}}{6^{1}} + \frac{5^{1}}{6^{1}} + . . . + \frac{3^{n}}{6^{n}} + \frac{5^{n}}{6^{n}}$

$= [(\frac{3^{0}}{6^{0}} + \frac{3^{1}}{6^{1}} + . . . + \frac{3^{n}}{6^{n}})] + [(\frac{5^{0}}{6^{0}} + \frac{5^{1}}{6^{1}} + . . . + \frac{5^{n}}{6^{n}})]$ .

Vì $\frac{3^{0}}{6^{0}}; \frac{3^{1}}{6^{1}}; . . .; \frac{3^{n}}{6^{n}}$ là cấp số nhân có $(n + 1)$ số hạng với $u_{1} = \frac{3^{0}}{6^{0}} = 1$ , $q = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Do đó:

$\frac{3^{0}}{6^{0}} + \frac{3^{1}}{6^{1}} + . . . + \frac{3^{n}}{6^{n}}$

$= 1. \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}}$

$= 2 - 2. {(\frac{1}{2})}^{n + 1}$

$= 2 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Vì $\frac{5^{0}}{6^{0}}; \frac{5^{1}}{6^{1}}; . . .; \frac{5^{n}}{6^{n}}$ là cấp số nhân có $(n + 1)$ số hạng với $u_{1} = \frac{5^{0}}{6^{0}} = 1$ , $q = \frac{5}{6}$ . Do đó:

$\frac{5^{0}}{6^{0}} + \frac{5^{1}}{6^{1}} + . . . + \frac{5^{n}}{6^{n}}$

$= 1. \frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{n + 1}}{1 - \frac{5}{6}}$

$= 6 - 6. {(\frac{5}{6})}^{n + 1} = 6 - 5. {(\frac{5}{6})}^{n}$ .

Vậy $v_{n} = 2 - {(\frac{1}{2})}^{n} + 6 - 5. {(\frac{5}{6})}^{n}$ .

$= 8 - {(\frac{1}{2})}^{n} - 5. {(\frac{5}{6})}^{n}$ .

Do đó, $lim_{n \to + \infty} v_{n} = lim_{n \to + \infty} [8 - {(\frac{1}{2})}^{n} - 5. {(\frac{5}{6})}^{n}] = 8$ .

c) Ta có:

$0 \leq | \sin n | \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq | \frac{\sin n}{4 n} | \leq \frac{1}{4 n}$ .

Mà $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{4 n} = 0$ nên theo nguyên lý kẹp $lim_{n \to + \infty} | \frac{\sin n}{4 n} | = 0$ .