Bài 5.3 trang 109

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi a) ({u_n} = frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}) b) ({v_n} = sqrt {2{n^2} + 1} - n)

Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi

a) $u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{2 n - 1}$ ;

b) $v_{n} = \sqrt{2 n^{2} + 1} - n$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chia cả tử và mẫu cho $x^{n}$ , với n là bạc cao nhất.

b) Nhân với biểu thức liên hợp $(\sqrt{A} - B) . (\sqrt{A} + B) = A - B^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) $lim u_{n} = lim \frac{n^{2} + 1}{2 n - 1} = lim \frac{1 + \frac{1}{n^{2}}}{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}}$ .

Ta có: $lim (1 + \frac{1}{n^{2}}) = 1$ , $lim (\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = 0$ .

Suy ra $u_{n} = + \infty$ .

b) $lim v_{n} = lim (\sqrt{2 n^{2} + 1} - n) = lim \frac{2 n^{2} + 1 - n^{2}}{\sqrt{2 n^{2} + 1} + n}$

$= lim \frac{n^{2} + 1}{n^{2} (\sqrt{\frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}} + \frac{1}{n})} = lim \frac{1 + \frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}} + \frac{1}{n}} = + \infty$ .