Bài 5.30 trang 124

Đề bài

Chứng minh rằng giới hạn $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}$ không tồn tại.

Lời giải chi tiết

$f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}$.

Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0: $x_n^{\left(1\right)}=\frac{1}{n}$; $x_n^{\left(2\right)}=-\frac{1}{n}$.

Khi đó: $limf\left(x_n^{\left(1\right)}\right)=lim\left(\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\right)=1$.

$limf\left(x_n^{\left(2\right)}\right)=lim\left(\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}\right)=-1$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}\left(x_n^{\left(1\right)}\right)\ne \underset{x\to +\infty }{lim}\left(x_n^{\left(2\right)}\right)$.

Vậy không tồn tại $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\left|x\right|}{x}$.