Bài 5.32 trang 124

Đề bài

Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là

$F\left(r\right)=\{\begin{array}{c}\frac{GMr}{R^3},r<R\\ \frac{GM}{r^2},r\ge R\end{array}$

Trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).

Lời giải chi tiết

Vì M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn, do đó M, R, G đều khác 0, r là khoảng cách nên r > 0.

Ta có: $F\left(r\right)=\{\begin{array}{c}\frac{GMr}{R^3},r<R\\ \frac{GM}{r^2},r\ge R\end{array}$.

Tập xác định của hàm số $F\left(r\right)là\left(0;+\infty \right)$.

+ Với r < R thì $F\left(r\right)=\frac{GMr}{R^3}$ hay $F\left(r\right)=\frac{GM}{R^3}.r$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $\left(0;R\right)$.

+ Với r > R thì $F\left(r\right)=\frac{GM}{r^2}$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên $\left(R;+\infty \right)$.

+ Tại r = R, ta có $F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}$.

$\underset{r\to R^{+}}{lim}F\left(r\right)=\underset{r\to R^{+}}{lim}\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{r^2}$;

$\underset{r\to R^{-}}{lim}F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{lim}\frac{GMr}{R^3}=\frac{GMR}{R^3}=\frac{GM}{R^2}$.

Do đó, $\underset{r\to R^{+}}{lim}F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{lim}F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}$ nên $\underset{r\to R}{lim}F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}=F\left(r\right)$.

Suy ra hàm số $F\left(r\right)$ liên tục tại r = R.

Vậy hàm số liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$.