Bài 5.33 trang 124

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng

a) $f\left(x\right)=\frac{\cos x}{x^2+5x+6}$;                              

b) $g\left(x\right)=\frac{x-2}{\sin x}$.

Lời giải chi tiết

a) Biểu thức có nghĩa khi $x^2+5x+6\ne 0$

$\iff (x+2)(x+3)\ne 0\iff \{\begin{array}{c}x\ne -2\\ x\ne -3\end{array}$.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là $R\setminus \{-3;-2\}$

$=(-\infty ;-3)\cup (-3;-2)\cup (-2;+\infty )$.

Suy ra hàm số f(x) xác định trên các khoảng $(-\infty ;-3)$, $(-3;-2)$ và $(-2;+\infty )$. Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Vậy hàm số $f\left(x\right)=\frac{\cos x}{x^2+5x+6}$ liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

b) Biểu thức $\frac{x-2}{\sin x}$ có nghĩa khi $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in Z$.

Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là $R\setminus \{k\pi \mid k\in Z\}$. Hay hàm số g(x) xác định trên các khoảng $(k\pi ;(k+1\left)\pi \right)$ với $k\in Z$.

Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức $x-2$ (hàm đa thức) và mẫu thức $\sin x$ (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.

Vậy hàm số $g\left(x\right)=\frac{x-2}{\sin x}$ liên tục trên các khoảng xác định của chúng.