Bài 5.4 trang 109

Đề bài

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số

a) 1, (12) = 1, 121212…;

b) 3, (102) = 3, 102102102…

Lời giải chi tiết

a) $1,12121212\dots =1+0.12+0.0012+0.000012+\dots$

$1+12.{10}^{-2}+12.{10}^{-4}+12.{10}^{-6}+\dots$

$12.{10}^{-2}+12.{10}^{-4}+12.{10}^{-6}+\dots$là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=12.{10}^{-2}$, $q={10}^{-2}$ nên

$1,121212\dots =1+\frac{u_1}{1-q}=1+\frac{12.{10}^{-2}}{1-{10}^{-2}}=\frac{37}{33}$.

b) $3,102102102\dots =3+0.102+0.000102+\dots$

$=3+102.{10}^{-3}+102.{10}^{-6}+\dots$

$102.{10}^{-3}+102.{10}^{-6}+102.{10}^{-9}+\dots$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=102.{10}^{-3}$, $q={10}^{-3}$ nên

$3,102102102\dots =3+\frac{u_1}{1-q}=3+\frac{\left(102.{10}^{-3}\right)}{1-{10}^{-3}}=\frac{1033}{333}$.