Bài 5. Dãy số

Giải bài 2.1 trang 33 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số $\left(u_n\right)$ sau:

a) ;                                    

b) ;

Lời giải chi tiết

a) Năm số hạng đầu tiên của dãy số là:

.

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy số là:

.

Giải bài 2.2 trang 33 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a)

b)

c) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: , nên là dãy số tăng.

b) Ta có: .

, .

Do đó, là dãy số giảm.

c) Ta có:

.

Ta thấy hiệu này âm hay dương phụ thuộc vào n chẵn hay n lẻ. Do đó, dãy số không tăng, không giảm.

Giải bài 2.3 trang 33 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a)

b)

c) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

Suy ra với mọi . Do đó, là dãy số bị chặn

b) Ta có: với mọi . Do đó, với mọi . Do đó, dãy số bị chặn dưới bởi 1 với mọi .

c) Ta có: với mọi . Do đó, là dãy số bị chặn trên bởi 1 với mọi .

Giải bài 2.4 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Để tính xấp xỉ giá trị người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau: với , ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm)

a) (lấy );                                 

b) (lấy );

Lời giải chi tiết

a) Với Nếu ta chọn thì ta có:

Sai số tuyệt đối khoảng

b) Với Nếu ta chọn thì ta có:

Sai số tuyệt đối khoảng

Giải bài 2.5 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi hệ thức truy hồi: $u_1=1,u_{n+1}=u_n+\left(n+1\right)$

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng . Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là: .

c) Chứng minh rằng , tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Lời giải chi tiết

a) Bảy số tam giác đầu là:

b) Ta nhận thấy:

Do đó, ta dự đoán:

c) Theo công thức phần b ta có:

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Giải bài 2.6 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua.

Lời giải chi tiết

Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là: \({T_1} = 50.75\%  = 37,5\) (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là: \({T_2} = {T_1}.75\%  = 28,125\) (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là: \({T_3} = {T_2}.75\%  = 21,0938\) (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là: \({T_4} = {T_3}.75\%  = 15,8203\) (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là: \({T_5} = {T_4}.75\%  = 11,8652\) (triệu đồng).

Giải bài 2.7 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nếu tỉ lệ lạm phát là 3,5% mỗi năm và giá trung bình của một hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trị trung bình của một căn hộ chung cư mới sau n năm nữa được cho bởi công thức $A_n=2,5.{\left(1,035\right)}^n$ (tỉ đồng). Tìm giá trị trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa.

Lời giải chi tiết

Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là:

(tỉ đồng)

Giải bài 2.8 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau n quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.

b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.

Lời giải chi tiết

a) Ba số hàng đầu của dãy số là:

b) Vì 2 năm bằng 8 quý nên Do đó, sau 2 năm số tiền bác An nhận được là:

(triệu đồng)

Giải bài 2.9 trang 35 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Vi khuẩn E. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E. Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Lời giải chi tiết

Giả sử ban đầu có 1 con vi khuẩn E. Coli

Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là: (con)

Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là: (con)

Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là: (con)

Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là: (con)

….

Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng 3.12 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là:

(con)

Sau 48 giờ (bằng 3.48 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là:

Giải bài 2.10 trang 35 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với \(1,0 \times {10^9}\) vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt được \(4,0 \times {10^8}\) vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn có thể tăng lên 25%.

a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.

b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thứ năm.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \({u_0} = 1,{0.10^9}\) là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và \({u_n}\) là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc lần thứ n.

Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt \(4,0 \times {10^8}\) vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn có thể tăng lên 25% nên ta có:

\({u_{n + 1}} = \left( {{u_n} - 4,{{0.10}^8}} \right) + 25\% .{u_n} = 1,25{u_n} - 4,{0.10^8}\)

b) Ta có: \({u_1} = 1,{0.10^9}\)

\({u_2} = 1,25{u_1} - 4,{0.10^8} = 8,{5.10^8}\)

\({u_3} = 1,25{u_2} - 4,{0.10^8} = 6,{625.10^8}\)

\({u_4} = 1,25{u_3} - 4,{0.10^8} = 4,{28125.10^8}\)

\({u_5} = 1,25{u_4} - 4,{0.10^8} = 1,{3515625.10^8}\)

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135 156 250 con.