Bài 5. Elip

HĐ1

Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (H.3.1)

a) Tìm tọa độ các giao điểm của elip với các trục tọa độ

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì các điểm có tọa độ \(({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc Elip.

c) Với điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip, hãy so sánh \(O{M^2}\) với \({a^2},{b^2}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(y = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow x =  \pm a\)

Giao điểm của elip với Ox là \({A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right).\)

\(x = 0 \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow y =  \pm b\)

Giao điểm của elip với Oy là \({B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right).\)

b) Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc elip thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( - {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{( - {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

hay các điểm có tọa độ \(({x_0}; - {y_0}),( - {x_0};{y_0}),( - {x_0}; - {y_0})\) cũng thuộc Elip.

c) Từ H.3.1 dễ thấy \(a > b\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{a^2}}} \le 1 \le \frac{{{x_0}^2}}{{{b^2}}} + \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}}\\ \Leftrightarrow {b^2} \le {x_0}^2 + {y_0}^2 \le {a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} \le O{M^2} \le {a^2}\end{array}\)

Luyện tập 1

Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Trong đó:

+ Độ dài trục lớn: \(2a\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ Độ dài trục lớn: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 6 \Rightarrow \sqrt {{5^2} - {b^2}}  = 3 \Rightarrow {b^2} = 16\)

Phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Luyện tập 2

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\) và số k \((0 < k < 1)\). Với mỗi điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc đường tròn, gọi \(H({x_0};0)\) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho \(HN = kHM\) (H.3.5)

a) Tính tọa độ của N theo \({x_0};{y_0};k.\)

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên Elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{(ka)}^2}}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(N({x_N};{y_N})\).

N thuộc đoạn MH và \(HN = kHM \Rightarrow \overrightarrow {HN}  = k\overrightarrow {HM} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({x_N} - {x_0};{y_N}) = k(0;{y_0})\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_0} = k.0\\{y_N} = k.{y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = {x_0}\\{y_N} = k.{y_0}\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(M({x_0};{y_0})\) thuộc (C) \({x^2} + {y^2} = {a^2}\) nên

\({x_0}^2 + {y_0}^2 = {a^2} \Leftrightarrow {x_N}^2 + {\left( {\frac{{{y_N}}}{k}} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \frac{{{x_N}^2}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_N}^2}}{{{{(ka)}^2}}} = 1\)

Vậy N thuộc Elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{(ka)}^2}}} = 1\)

HĐ2

Cho Elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm \(M(x;y)\).

a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\).

b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)), tính \(M{F_1} - M{F_2},M{F_1},M{F_2}\).

Lời giải chi tiết:

a) Tính \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2\)

Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( - c - x; - y);\overrightarrow {M{F_2}} (c - x; - y)\)

\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( - c - x)^2} + {( - y)^2};M{F_2}^2 = {(c - x)^2} + {( - y)^2}\)

\( \Rightarrow M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {( - c - x)^2} - {(c - x)^2} = 4cx\)

b) Khi điểm M thuộc Elip (\(M{F_1} + M{F_2} = 2a\)),

 \(\begin{array}{l}M{F_1} - M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 - M{F_2}^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{2c}}{a}x\\M{F_1} = \frac{{2a + \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a + \frac{c}{a}x\\M{F_2} = \frac{{2a - \frac{{2c}}{a}x}}{2} = a - \frac{c}{a}x\end{array}\)

LT3

Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\), điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.

Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:

\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)

\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({a^2} = 36\), \({b^2} = 20 \Rightarrow a = 6\), \(b = 2\sqrt 5  \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4\).

Xét tiêu điểm \({F_1}( - 4;0)\):

\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 2\) khi M trùng \({A_1}( - 6;0)\).

\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 10\) khi M trùng \({A_2}(6;0)\).

VD1

Với thông tin đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^6}km\) trên thực tế.

Phương pháp giải:

Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ trong PTCT \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Với M bất kì thuộc Elip, ta luôn có: \(b \le OM \le a\)

\(\begin{array}{l}OM = b \Leftrightarrow M \equiv {B_1}\left( {0; - b} \right);{B_2}\left( {0;b} \right).\\OM = a \Leftrightarrow M \equiv {A_1}\left( { - a;0} \right);{A_2}\left( {a;0} \right).\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Coi tâm mặt trời là gốc tọa độ O.

Gọi PTCT của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

M là vị trí của Trái Đất, rõ ràng \(M \in (E)\).

Vì \(b \le OM \le a\) nên \(a = {152.10^6};b = {147.10^6}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất là (E):

\(\frac{{{x^2}}}{{{{23104.10}^{12}}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{21609.10}^{12}}}} = 1\).

HĐ3

Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), \({F_2}(c;0)\), ở đây \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x =  - \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).

Với điểm M (x; y) thuộc elip, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.

Phương pháp giải:

Áp dụng phương trình chính tắc và công thức khoảng cách trong mặt phẳng tọa độ để biến đổi.

Lời giải chi tiết:

Có M(x; y), \({F_2}(0;c)\) nên:

\(M{F_2} = \sqrt {{{(x - c)}^2} + {{(y - 0)}^2}}  = \sqrt {{{(x - c)}^2} + {y^2}} \).

Từ phương trình chính tắc của elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), ta rút được \({y^2} = {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) = {b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}\).

Thay vào biểu thức trên, được:

\(M{F_2}^2 = {(x - c)^2} + {b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}\)

\( = {x^2} - 2cx + {c^2} + {b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}\)

\( = {x^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2} - 2cx + ({c^2} + {b^2})\)

\( = {x^2}\left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) - 2cx + {a^2}\)

\( = {x^2}\left( {\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}}} \right) - 2cx + {a^2}\)

\( = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2} - 2cx + {a^2}\)

\( = {\left( {a - \frac{c}{a}x} \right)^2}\).

Vì \(x \le a\) và \(c < a\) nên \(a - \frac{c}{a}x > 0\). Vậy:

+) \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}x\).

+) \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x\) (tương tự bằng cách thay -c vào vị trí của c).

Tính khoảng cách:

+) \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {1.x + 0.y + \frac{{{a^2}}}{c}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{{{a^2}}}{c}} \right|\).

+) \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.x + 0.y - \frac{{{a^2}}}{c}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x - \frac{{{a^2}}}{c}} \right|\).

Lập tỉ số:

+) \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{a + \frac{c}{a}x}}{{\frac{{{a^2} + cx}}{c}}} = \frac{{\frac{{{a^2} + cx}}{a}}}{{\frac{{{a^2} + cx}}{c}}}\)

\( = \frac{{{a^2} + cx}}{a} \cdot \frac{c}{{{a^2} + cx}} = \frac{c}{a}\).

+) \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{{a - \frac{c}{a}x}}{{\frac{{{a^2} - cx}}{c}}} = \frac{{\frac{{{a^2} - cx}}{a}}}{{\frac{{{a^2} - cx}}{c}}}\)

\( = \frac{{{a^2} - cx}}{a} \cdot \frac{c}{{{a^2} - cx}} = \frac{c}{a}\).

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a} = e\).

LT4

Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm tâm sai và các đường chuẩn của elip. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M thuộc elip và có hoành độ bằng -2.

Phương pháp giải:

Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)

+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x =  - \frac{a}{e}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{a}{e}\).

+ Bán kính qua tiêu của M (x; y): \(M{F_1} = a + ex,\;M{F_2} = a - ex.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).

\( \Rightarrow a = 6,b = 5,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {11} \)

+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\)

+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x =  - \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{36\sqrt {11} }}{{11}}\).

+ Bán kính qua tiêu của M (-2; y): \(M{F_1} = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{3},\;M{F_2} = 6 - \frac{{\sqrt {11} }}{6}.( - 2) = 6 + \frac{{\sqrt {11} }}{3}.\)

VD2

Mặt trăng chuyển động theo một quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Các khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các vị trí của Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng là 400 000 km và 363 000 km (theo nssdc.gsfc.nasa.gov). Tìm tâm sai của quỹ đạo elip.

Phương pháp giải:

Cho PTCT: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), \({F_1}( - c;0)\) là một tiêu điểm.

Điểm M bất kì thuộc elip, khi đó:

\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c\) khi M trùng \({A_1}( - a;0)\)

\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c\) khi M trùng \({A_2}(a;0)\)

+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi PTCT của quỹ đạo hình elip đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\),

Giả sử Trái Đất là tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\).

Điểm M bất kì thuộc elip là vị trí của Mặt trăng trong quỹ đạo, khi đó:

\(M{F_1}\) nhỏ nhất bằng \(a - c = 363\;000\)

\(M{F_1}\) lớn nhất bằng \(a + c = 400\;000\)

\( \Rightarrow a = 381500,\;c = 18500\)

\( \Rightarrow \)Tâm sai của elip là: \(e = \frac{{18500}}{{381500}} = \frac{{37}}{{763}}.\)