Bài 5. Góc ở tâm, cung và hình quạt tròn - Toán 9 Cùng khám phá

Lý thuyết Góc ở tâm, cung và hình quạt tròn Toán 9 Cùng khám phá

1. Góc ở tâm và số đo cung

Góc ở tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm của đường tròn.

Số đo cung

Trong đường tròn: - Số đo của cung nhỏ là số đo của góc ở tâm chắn cung đó; - Số đo của cung lớn là hiệu giữa và số đo của cung nhỏ cùng đầu mút với nó. - Số đo của nửa đường tròn là .

Lưu ý: Trong một đường tròn:

- Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ.

- Các cung có số đo bằng được gọi chung là cung . Mỗi điểm trên đường tròn được xem là một cung , cả đường tròn được xem là cung .

- Tổng số đo hai cung có chung đầu mút là .

- Nếu điểm M thuộc cung AB và chia cung AB thành hai cung AM, MB thì ta có sđ = sđ + sđ.

2. Độ dài cung

Công thức độ dài cung của đường tròn bán kính R: .

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), .

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ.

Độ dài của cung AB là:

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ.

Độ dài của cung AnB là:

3. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khái niệm hình quạt tròn

 

Hình quạt tròn là phần hình tròn bị giới hạn bởi một cung và hai bán kính đi qua các đầu mút của cung đó.

Diện tích hình quạt tròn

Nếu là phần diện tích của hình quạt tròn bán kính R ứng với cung có số đo thì:

.

Công thức diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung :

Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là cm, bán kính là R = 5cm là:

Khái niệm hình vành khuyên

Hình vành khuyên là hình giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau.

Diện tích hình vành khuyên

Công thức diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (O;R) và (O;r) (với r < R): .

Ví dụ:  Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

Lưu ý: Từ công thức tính diện tích hình quạt tròn và độ dài cung , bán kính R, ta có công thức liên hệ hai diện tích hình quạt () với độ dài cung () ứng với nó như sau:

.

Giải câu hỏi khởi động trang 115 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Vì sao để chia một chiếc bánh ngọt có mặt hình tròn thành nhiều phần bằng nhau, người ta thường cắt bánh thành các đường đi qua tâm bánh (Hình 5.43)?

Lời giải chi tiết

Để chia một chiếc bánh ngọt có mặt hình tròn thành nhiều phần bằng nhau, tức là chia chiếc bánh thành các cung có số đo bằng nhau.

Để chia các cung có số đo bằng nhau thì ta chia các góc ở tâm chắn các cung đó bằng nhau.

Do đó, ta thường cắt bánh thành các đường đi qua tâm bánh.

Giải mục 1 trang 115, 116, 117 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 117, 118, 119 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 3 trang 119, 120, 121 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 5.22 trang 121 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Vẽ đường tròn (O), sau đó vẽ:

a) Một góc ở tâm của (O) có số đo ;

b) Một cung có số đo .

Lời giải chi tiết

a) Vẽ đường tròn tâm (O), vẽ một góc có đỉnh là tâm O bằng 50 độ, hai cạnh của góc O là hai bán kính của (O).

b) Vẽ đường tròn (O), vẽ một góc ở tâm có số đo bằng 125 độ. Khi đó, số đo cung nhỏ bị chặn bởi góc ở tâm đó bằng 125 độ và số đo cung lớn bằng 235 độ.

Giải bài tập 5.23 trang 121 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho điểm A thuộc đường tròn (O). Trên tiếp tuyến tại A của (O) xác định điểm M sao cho . Đường thẳng OM cắt (O) tại B và C (B nằm giữa O và M).

a) Tính góc ở tâm BOA.

b) Tính số đo cung lớn AC.

Lời giải chi tiết

a) Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên , suy ra tam giác AMO vuông tại A. Mà nên tam giác AMO vuông cân tại O. Do đó, .

b) Ta có:

Vì AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC nên .

Số đo cung AC lớn là: .

Giải bài tập 5.24 trang 121 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tiếp tuyến tại hai điểm A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Biết rằng MAB là tam giác đều. Tính số đo cung nhỏ và cung lớn AB.

Lời giải chi tiết

Vì MA và MB là tiếp tuyến của (O) nên , suy ra .

Vì tam giác MAB đều nên

Tứ giác MAOB có:

Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên số đo cung nhỏ AB bằng .

Số đo cung AB lớn là:

.

Giải bài tập 5.25 trang 121 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong 20 giây, kim giây của đồng hồ quay được một cung có số đo bằng bao nhiêu (Hình 5.55)?

Lời giải chi tiết

Trong 20 giây, kim giây của đồng hồ quay được một góc 120 độ.

Do đó, kim giây của đồng hồ quay được một cung có số đo 120 độ.

Giải bài tập 5.26 trang 121 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính chu vi và diện tích phần được tô màu trong mỗi trường hợp ở Hình 5.56. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải chi tiết

a) Góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên số đo cung AB nhỏ là bằng 110 độ.

Khi đó, số đo cung AB lớn bằng:

.

Phần được tô màu là hình quạt tâm O, cung lớn AB nên

+ Diện tích phần tô màu là:

+ Độ dài cung AB lớn là:

+ Chu vi hình được tô màu là:

b) Diện tích hình vuông ABCD là:

Phần không tô màu là hình tròn bán kính 14cm nên diện tích phần không tô màu là: .

Diện tích phần tô màu là:

Độ dài cung BD là:

Chu vi phần được tô màu là:

c) Tam giác ABC có: nên tam giác ABC đều. Do đó, nên hình quạt tâm A, hai bán kính AB, AC có số đo cung BC bằng 60 độ.

Diện tích hình quạt tâm A, cung BC là:

Diện tích tam giác đều ABC cạnh 15cm là:

Do đó, diện tích phần được tô màu là:

Độ dài cung BC là:

.

Chu vi phần được tô màu là:

.

Giải bài tập 5.27 trang 122 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.57, bia bắn cung có dạng hình tròn bán kính 20cm. Bia được chia thành năm phần bởi bốn đường tròn có bán kính lần lượt 4cm, 8cm, 12cm, 16cm. Mỗi phần được sơn một màu khác nhau. Tính diện tích mỗi phần.

Lời giải chi tiết

Diện tích phần sơn màu vàng là:

\({S_V} = \pi {.4^2} = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích phần sơn màu đỏ là:

${{S}_{Đ}}=\pi .\left( {{8}^{2}}-{{4}^{2}} \right)=48\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

Diện tích phần sơn màu xanh da trời là:

\({S_{XDT}} = \pi .\left( {{{12}^2} - {8^2}} \right) = 80\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích phần sơn màu xanh đậm là:

${{S}_{XĐ}}=\pi .\left( {{16}^{2}}-{{12}^{2}} \right)=112\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

Diện tích phần sơn màu trắng là:

\({S_T} = \pi .\left( {{{20}^2} - {{16}^2}} \right) = 144\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Giải bài tập 5.28 trang 122 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.58, bánh pizza có dạng hình tròn tâm O được cắt thành sáu phần bằng nhau. Góc AOB có số đo bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Vì hình tròn tâm O được chia thành sáu phần bằng nhau, tức là hình tròn được chia thành 6 cung bằng nhau. Do đó, 6 góc ở tâm tương ứng chắn các cung của hình tròn tâm O bằng nhau.

Suy ra, .

Giải bài tập 5.29 trang 122 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một chiếc xe lu có đường kính trống lu là 1,5m và đường kính của bánh sau là 1,2m (Hình 5.59). Khi hoạt động, trống lu quay hết một vòng trong 5 phút.

a) Trong mỗi phút, trống lu quay được bao nhiêu độ và xe lu cán được bao nhiêu mét đường?

b) Để cán được 1 mét đường thì trống lu phải quay một góc bao nhiêu độ?

c) Để trống lu quay được 1 vòng thì bánh sau phải quay bao nhiêu vòng?

Lời giải chi tiết

a) Bán kính trống lu là:

.

Trong một phút, trống lu quay được .

Trong một phút, lu xe cán được số mét đường là:

.

b) Trống lu cán được 1m đường thì ta có:

, suy ra: .

Vậy để cán được 1 mét đường thì trống lu phải quay thì trống lu phải quay một góc .

c) Độ dài đường tròn đường kính 1,5m là:

.

Độ dài đường tròn đường kính 1,2m là:

.

Ta có: .

Vậy khi trống lu quay được 1 vòng thì bánh sau xe quay được 1,25 vòng.