Bài 5. Những hằng đẳng thức đáng nhớ - Toán 8
Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ SGK Toán 8 - Cùng khám phá
1. Hằng đẳng thức
Cho hai biểu thức đại số A và B có cùng các biến. Nếu giá trị của A và giá trị của B luôn bằng nhau tại mọi giá trị của các biến thì ta có một hằng đẳng thức A = B(hay đồng nhất thức)
Ví dụ: \(a + b = b + a;a(a + 2) = {a^2} + 2a\) là những hằng đẳng thức.
\({a^2} - 1 = 3a;a(a - 1) = 2a\) không phải là những hằng đẳng thức.
2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Bình phương của một tổng
\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Ví dụ: \({101^2} = {(100 + 1)^2} = {100^2} + 2.100.1 + {1^2} = 10201\)
+ Bình phương của một hiệu
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Ví dụ: \({99^2} = {(100 - 1)^2} = {100^2} - 2.100.1 + {1^2} = 9801\)
+ Hiệu hai bình phương
\({A^2} - {B^2} = (A - B)(A + B)\)
Ví dụ: \({101^2} - {99^2} = (101 - 99)(101 + 99) = 2.200 = 400\)
+ Lập phương của một tổng
\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)
Ví dụ: \({\left( {x + 3} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}.3 + 3x{.3^2} + {3^3} = {x^3} + 9{x^2} + 27x + 27\)
+ Lập phương của một hiệu
\({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)
Ví dụ: \({\left( {x - 3} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}.3 + 3x{.3^2} - {3^3} = {x^3} - 9{x^2} + 27x - 27\)
+ Tổng hai lập phương
\({A^3} + {B^3} = (A + B)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
Ví dụ: \({x^3} + 8 = {x^3} + {2^3} = (x + 2)({x^2} - 2x + 4)\)
+ Hiệu hai lập phương
\({A^3} - {B^3} = (A - B)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Ví dụ: \({x^3} - 8 = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)
Giải mục 1 trang 17, 18 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Hoạt động 1
Cho hình vuông ABCD như Hình 1.8. 
a) Tính độ dài AB, từ đó tính diện tích hình vuông ABCD.
b) Tính tổng diện tích của các hình và .
c) Dựa vào câu a và câu b, hãy giải thích vì sao với mọi giá trị của ta luôn có
Phương pháp giải:
a) Viết biểu thức biểu diễn độ dài AB, tính diện tích hình vuông theo công thức
b) Tính tổng diện tích của các hình và .
c) Dựa vào câu a) và câu b).
Lời giải chi tiết:
a) Ta thấy
Diện tích hình vuông ABCD là :
b) Ta có:
.
Tổng diện tích của các hình và là :
c) Ta thấy tổng diện tích của các hình và chính là
nên ta luôn có ( dpcm).
Luyện tập 1
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
a) là một đồng nhất thức
b) là một đồng nhất thức.
Phương pháp giải:
Kiểm tra xem VT và VP có bằng nhau hay không? Nếu giá trị của hai vế luôn bằng nhau tại mọi giá trị thì ta có một đồng nhất thức ( hay hằng đẳng thức).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có
Nên là một đồng nhất thức
Vậy khẳng định a) là khẳng định đúng
b) Ta có
không phải là một đồng nhất thức
Vậy khẳng định b) là khẳng định sai.
Giải mục 2 trang 19, 20, 21, 22, 23, 24 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Hoạt động 2
Cho và là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính
2. Hãy cho biết:
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có
2. Có
Luyện tập 2
Tính:
a) ;
b)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
Để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
b)
Luyện tập 3
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
a) ;
b)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
Để phân tích biểu thức và viết lại dưới dạng bình phương của một tổng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có
b) Ta có.
Hoạt động 3
Cho và là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính .
2. Hãy cho biết
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có
2. Có
Luyện tập 4
Tính:
a)
b)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:
Để thực hiện phép tính
Lời giải chi tiết:
a)
b)
Luyện tập 5
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:
a) ;
b)
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:
Để viết lại biểu thức dưới dạng bình phương của một hiệu.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có ;
b) Ta có .
Vận dụng 1
Trong Hình 1.9, diện tích của hình vuông là , với .
a) Tìm độ dài cạnh hình vuông theo . Từ đó biểu diễn theo .
b) Tính diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 theo .
Phương pháp giải:
a) Viết lại biểu thức biểu diễn diện tích hình vuông dưới dạng bình phương của một hiệu. Từ đó suy ra độ dài cạnh của hình vuông đó
b) Viết biểu thức tính diện tích hình chữ nhật theo công thức tính diện tích hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết:
a) Với ta có
Vậy độ dài cạnh hình vuông là
Vậy
b) Diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là:
Vậy diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 là .
Hoạt động 4
Cho và là hai số thực bất kì.
1. .
2. Hãy cho biết:
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có
2. Vậy
Luyện tập 6
Tính:
a)
b)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
b)
Luyện tập 7
Tính nhanh:
a)
b)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép tính một cách nhanh nhất
Lời giải chi tiết:
a) Ta thấy
b)
Vận dụng 2
Một người dùng các thanh kim loại để thiết kế một khung ảnh gồm hai hình vuông lồng vào nhau như Hình 1.10, trong đó ảnh được gắn vào hình vuông nhỏ. Biết rằng tổng chiều dài của các thanh kim loại để làm khung là và diện tích phần không gắn ảnh( phần tô màu) là . Tính diện tích của phần được gắn ảnh.
Phương pháp giải:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là và như hình vẽ
Viết biểu thức biểu diễn tổng chiều dài của các thanh kim loại.
Viết biểu thức biểu diễn diện tích phần không gắn ảnh.
Áp dụng các kiến thức đã học để tính diện tích phần tô màu.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài hai cạnh hình vuông lần lượt là và như hình vẽ
Theo đề bài tổng độ dài của các thanh kim loại là nên ta có: (1)
Diện tích phần không gắn ảnh là hiệu diện tích của hình vuông lớn và hình vuông nhỏ và bằng nên ta có:
Thay vào (1) ta có:
Diện tích phần không gắn ảnh là:
Có nên
Thay vào (1) ta được
Diện tích của phần được gắn ảnh là:
Hoạt động 5
Cho và là hai số thực bất kì:
- Thực hiện phép tính
- Hãy cho biết:
Phương pháp giải:
1. Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng kết hợp với nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép tính.
2. Dựa vào kết quả của ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.
2. Có
Luyện tập 8
Tính:
a)
b)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
b)
Hoạt động 6
Cho và là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính .
2. Hãy cho biết: .
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức kết hợp với sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.Ta có:
2.
Luyện tập 9
Tính:
a)
b)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
b)
Hoạt động 7
Cho và là hai số thực bất kì.
1. Thực hiện phép tính
2. Hãy cho biết
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1. Ta có:
2.
Luyện tập 10
a) Viết dưới dạng tích.
b) Viết dưới dạng tổng.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
b)
Hoạt động 8
Cho và là hai số thực bất kì.
a) Thực hiện phép tính
b)
Phương pháp giải:
1. Ta nhân đa thức với đa thức: Lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
2. Dựa vào kết quả từ ý 1.
Lời giải chi tiết:
1.
2.
Luyện tập 11
a) Tính
b) Viết dưới dạng tích.
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức thực hiện phép tính.
Lời giải chi tiết:
a)
b)
Giải bài 1.28 trang 24 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a) là một đồng nhất thức.
b) là một đồng nhất thức.
c) là một đồng nhất thức.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Lời giải chi tiết
a) Ta thấy
Khẳng định a) là khẳng định sai.
b)
Khẳng định b) là khẳng định sai.
c)
Khẳng định c) là khẳng định đúng.
Giải bài 1.29 trang 24 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
a) Tính giá trị và , biết rằng và
b) Tính giá trị của và biết rằng và
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Lời giải chi tiết
a) Ta có
b) Ta có
Giải bài 1.30 trang 25 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
a) Tính giá trị của biết rằng và
b) Tính giá trị của biết rằng và
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức
Lời giải chi tiết
a) Ta có
b) Có
Giải bài 1.31 trang 25 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
Không dùng máy tính cầm tay, tính nhanh:
a)
b)
c)
d)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Lời giải chi tiết
a)
b)
c)
d)
Giải bài 1.32 trang 25 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho hình thang ABCD có \(AB = 5x + 3,DC = 3x - 1\) và chiều cao \(DH = 4x - 1\) với \(x > 1\) (Hình 1.11). Chứng minh rằng diện tích của hình thang này bằng \(16{x^2} - 1.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính diện tich hình thang, kết hợp với sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
Lời giải chi tiết
Diện tích hình thang ABCD là:
\(\frac{{\left( {3x - 1} \right) + \left( {5x + 3} \right)}}{2}\left( {4x - 1} \right) = \frac{{8x + 2}}{2}\left( {4x - 1} \right) = \left( {4x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right) = 16{x^2} - 1\)
Vậy diện tích của hình thang này bằng \(16{x^2} - 1.\)
Giải bài 1.33 trang 25 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
Tính:
a)
b)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức
Lời giải chi tiết
a)
b)
Giải bài 1.34 trang 25 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
a) Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một tổng.
b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính giá trị của biểu thức sau tại
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức .
Lời giải chi tiết
a) Ta có
b) Thay vào biểu thức ta có
Giải bài 1.35 trang 25 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
a) Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một hiệu.
b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính giá trị của biểu thức sau tại
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức
Lời giải chi tiết
a) Ta có
b) Thay vào biểu thức ta có
Giải bài 1.36 trang 25 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức:
Lời giải chi tiết
a)
b)
Giải bài 1.37 trang 25 SGK Toán 8 - Cùng khám phá
Đề bài
a) Chứng minh rằng:
b) Tính giá trị của biết rằng và
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức kết hợp với nhân đa thức với đa thức.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
b) Thay và vào biểu thức, ta có
Vậy giá trị của biểu thức là
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP8
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!