Bài 5. Phép chiếu song song Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Phép chiếu song song - SGK Toán 11 Cùng khám phá
I. Phép chiếu song song
- Trong không gian, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với \(\Delta \) sẽ cắt \(\left( \alpha \right)\) tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương\(\Delta \).
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M” của nó trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được gọi là phép chiếu song song lên \(\left( \alpha \right)\) theo phương \(\Delta \).
Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp H’ các ảnh M’ của tất cả những điểm M thuộc H được gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của H qua phép chiếu song song nói trên.
- Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng \(\Delta \) gọi là phương chiếu.
II. Tính chất cơ bản của phép chiếu song song
- Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.
- Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tia thành tia.
- Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
III. Hình biểu diễn của một hình không gian
- Hình biểu diễn của một hình H không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
- Quy tắc vẽ hình biểu diễn:
- Nếu trên hình có 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song (trùng nhau) thì chúng được biểu diễn bằng 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song (trùng nhau) và tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng không đổi.
- Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì:
+ Hình biểu diễn của một đường tròn là một elip.
+ Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.
+ Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.
Giải mục 1 trang 115, 116 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Hoạt động 1
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Lấy M là điểm bất kì trong không gian. Qua M, vẽ đường thẳng d song song với \(\Delta \). Hỏi d và \(\left( \alpha \right)\) có điểm chung hay không?
Phương pháp giải:
Chứng minh phản chứng (Giả sử d và \(\left( \alpha \right)\) không có điểm chung).
Lời giải chi tiết:
Giả sử d và \(\left( \alpha \right)\) không có điểm chung nên d // \(\left( \alpha \right)\)
\(\Delta \)// d nên \(\Delta \)// \(\left( \alpha \right)\)
Mà \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\) (Mâu thuẫn)
Vậy d và \(\left( \alpha \right)\) có điểm chung.
Luyện tập 1
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Tìm hình chiếu song song của điểm O trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương AA'.
Phương pháp giải:
Kẻ đường thẳng đi qua O, song song với AA' và cắt (A'B'C'D') tại điểm O'. O' là hình chiếu song song của O.
Lời giải chi tiết:
Gọi O' là trung điểm của A'C'
Do ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD
Ta có AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng = BB') nên ACC'A' là hình bình hành
\( \Rightarrow \)OO' là đường trung bình của hình bình hành ACC'A' nên OO' // AA'
Ta lại có OO' cắt (A'B'C'D') tại O'
Vậy O' là hình chiếu song song của O trên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương AA'.
Giải mục 2 trang 116, 117 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Hoạt động 2
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Lấy M là trung điểm của AB và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M', G' lần lượt là hình chiếu song song của M và G trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương AA'. Hãy nhận xét về vị trí tương đối của ba điểm M', G', C'?
Phương pháp giải:
Kẻ đường thẳng đi qua O, song song với AA' và cắt (A'B'C'D') tại điểm O'. O' là hình chiếu song song của O.
Lời giải chi tiết:
Gọi M' là trung điểm của A'B', G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'
Xét hình bình hành ABB'A' có M, M' lần lượt là trung điểm của AB, A'B' nên MM' // AA' và CC' = MM' (Đường trung bình của hình bình hành)
MM' cắt (A'B'C') tại M' nên M' là hình chiếu song song của M trên (A'B'C') theo phương AA'
Ta có: CC' // MM' (cùng // AA') và CC' = MM' (cùng = AA') nên CC'M'M là hình bình hành. Suy ra CM // C'M' (1) và CM = C'M'
\(CG = \frac{2}{3}CM,C'G' = \frac{2}{3}C'M' \Rightarrow CG = C'G'\) (2)
Từ (1), (2) suy ra CGG'C' là hình bình hành \( \Rightarrow \)CC' // GG' \( \Rightarrow {\rm{AA'}}\,{\rm{//}}\,{\rm{GG'}}\)
GG' cắt (A'B'C') tại G' nên G' là hình chiếu song song của G trên (A'B'C') theo phương AA'
Ba điểm M', G', C' thẳng hàng.
Luyện tập 2
a) Hình chiếu song song của một hình vuông có thể là hình bình hành không? Hãy cho một ví dụ minh hoạ.
b) Hình 4.97 có thể là hình chiếu song song của hình lục giác đều được không? Vì sao?
Phương pháp giải:
a) Hình chiếu song song của một hình vuông có thể là hình bình hành.
b) Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Hình chiếu song song của một hình vuông có thể là hình bình hành. Ví dụ:
b)
Gọi O là giao điểm của các đường chéo của lục giác đều ABCDEF
Hình 4.97 không thể là hình chiếu song song của hình lục giác đều vì:
Ta có: AO // BC
Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Mà Hình 4.97 không thể hiện được điều đó.
Giải mục 3 trang 117, 118, 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Hoạt động 3
Trong các hình bên, hình nào biểu diễn cho hình lập phương?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ.
Lời giải chi tiết:
Hình a) là hình lập phương.
Luyện tập 3
Nhà kính trồng rau của anh A được thiết kế có dạng là một hình hộp và phần mái bên trên là một hình lăng trụ có đáy là tam giác cân đặt nằm ngang (Hình 4.106). Hãy về hình biểu diễn của hình ảnh gồm hình lăng trụ và hình hộp này.
Phương pháp giải:
Vẽ hình hộp và hình lăng trụ có đáy tam giác cân đặt nằm ngang trên hình hộp.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Vẽ hình hộp BCHG.EFIJ
Bước 2: Vẽ hình lăng trụ có đáy tam giác cân ABC.DEF đặt nằm ngang trên hình hộp.
Bài 4.22 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
a) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau;
b) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau;
c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau;
d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình chéo của 2 đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Lời giải chi tiết
Phát biểu đúng là c
a) Sai vì nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng mà trùng nhau thì hai đường thẳng đó cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Sai vì hình chiếu song song của 2 đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
d) Sai.
Bài 4.23 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
a) Hình chiếu song song của hai dường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau;
b) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau;
c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau;
d) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu song song của nó;
e) Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu song song của nó;
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình chiếu của 2 đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau, có thể cắt nhau.
Một đường thẳng có thể song song, trùng với hình chiếu song song của nó.
Lời giải chi tiết
Các phát biểu đúng là b, c, d, g.
a) Sai vì nếu a, b là 2 đường thẳng cắt nhau tại O và hình chiếu của O là O' thì O' thuộc a', O' thuộc b', tức là a' và b' có điểm chung.
e) Sai vì một đường thẳng còn có thể song song hoặc trùng với hình chiếu song song của nó.
Bài 4.24 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm tam giác A'B'C'.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Kẻ đường thẳng đi qua O, song song với AA' và cắt (A'B'C'D') tại điểm O'. O' là hình chiếu song song của O.
Lời giải chi tiết
Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của AB, A'B'; G, G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A'B'C'
Xét hình bình hành ABB'A' có M, M' lần lượt là trung điểm của AB, A'B' nên MM' // AA' và CC' = MM' (Đường trung bình của hình bình hành)
MM' cắt (A'B'C') tại M' nên M' là hình chiếu song song của M trên (A'B'C') theo phương AA'
Ta có: CC' // MM' (cùng // AA') và CC' = MM' (cùng = AA') nên CC'M'M là hình bình hành. Suy ra CM // C'M' (1) và CM = C'M'
\(CG = \frac{2}{3}CM,C'G' = \frac{2}{3}C'M' \Rightarrow CG = C'G'\) (2)
Từ (1), (2) suy ra CGG'C' là hình bình hành \( \Rightarrow \)CC' // GG' \( \Rightarrow {\rm{AA'}}\,{\rm{//}}\,{\rm{GG'}}\)
GG' cắt (A'B'C') tại G' nên G' là hình chiếu song song của G trên (A'B'C') theo phương AA'
Vậy trọng tâm tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm tam giác A'B'C'.
Bài 4.25 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Một đồ chơi cấu tạo gồm hai hình trụ đặt chồng lên nhau như Hình 4.107, hình trụ ở trên có bán kính bằng một nửa bán kính của hình trụ ở dưới và chiều cao gấp đôi chiều cao của hình trụ ở dưới. Vẽ hình biểu diễn của hai hình trụ tương ứng với đồ chơi này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Vẽ hình trụ thứ nhất có đáy có bán kính R, chiều cao h.
Bước 2: Vẽ hình trụ thứ hai có đáy có bán kính 2R, chiều cao h/2.
Lời giải chi tiết
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!