Bài 5. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải - Toán 8

Hoạt động 1

Trong Hình 5.32, mỗi quả cân có khối lượng x kg. Viết hệ thức liên hệ giữa khối lượng đồ vật trên hai đĩa cân khi thăng bằng.

Phương pháp giải:

Viết hệ thức liên hệ giữa khối lượng đồ vật trên hai đĩa cân khi cân bằng.

Lời giải chi tiết:

Hệ thức liên hệ giữa khối lượng đồ vật trên hai đĩa cân khi cân bằng là:

Luyện tập 1

Xét xem là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau:

a)    

b)   

Phương pháp giải:

Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Để xét xem là nghiệm của phương trình nào ta thay vào vế trái và vế phải của các phương trình. Nếu giá trị của cả hai vế bằng nhau thì chính là nghiệm của phương trình đó.

Lời giải chi tiết:

a)     Lần lượt thay vào vế trái và vế phải của phương trình , ta có:

Vế trái:

Vế phải:

Vậy là nghiệm của phương trình .

b)    Lần lượt thay vào vế trái và vế phải của phương trình , ta có:

Vế trái:

Vế phải:

Vậy không phải nghiệm của phương trình .

Hoạt động 2

Phương trình nào sau đây có vế trái là đa thức một biến với bậc 1?

;

;

; 

;

;

.

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về đa thức một biến và bậc của đa thức để xác định phương trình nào có vế trái là đa thức một biến với bậc một.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình , ta thấy có vế trái là đa thức một biến x với bậc 1.

Xét phương trình , ta thấy có vế trái là đa thức một biến x có bậc là 2.

Xét phương trình , ta thấy có vế trái là đa thức một biến x có bậc là 2.

Xét phương trình , ta thấy có vế trái là đa thức có một biến y và có bậc là 1.

Xét phương trình , ta thấy có vế trái là đa thức có một biến y và bậc 1.

Xét phương trình , ta thấy có vế trái là đa thức có một biến t và bậc 1.

Luyện tập 2

Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất một ẩn trong các phương trình sau:

;

;

;

.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng với là hai số đã cho và , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn số là x)

Lời giải chi tiết:

Phương trình bậc nhất một ẩn là:

Hoạt động 3

Hai bạn Hiếu và Nghĩa chơi trò đoán số. Quy tắc chơi:

+ Người đi trước nghĩ trong đầu mình một số, nhân số đó với 2 rồi cộng thêm 3, sau đó thông báo kết quả cho đối phương;

+ Nếu đoán đúng số người đi trước nói 3 lần liên tiếp thì người đi trước thua và phải nhường lượt chơi cho người tiếp theo.

Hiếu cho số 23 và Nghĩa đoán đúng số Hiếu nghĩ là 10.

Hiếu cho số 75 và Nghĩa đoán đúng số Hiếu nghĩ là 36

Hiếu cho số 2525 và Nghĩa đoán đúng số Hiếu nghĩ là 1261.

Hiếu rất ngạc nhiên. Theo em, Nghĩa đã làm thế nào để luôn luôn đoán đúng số Hiếu nghĩ?

Phương pháp giải:

Dựa vào giải phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương trình dạng với là hai số đã cho và , được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn số là x)

Lời giải chi tiết:

Gọi số Hiếu nghĩ trong đầu là x

Nhân số đó với 2 rồi cộng thêm 3 ta được

Nếu Hiếu cho kết quả là 23 thì ta có phương trình

Nghĩa lấy 23 trừ đi 3:

Rồi Nghĩa lấy kết quả chia cho 2:

Nếu cứ giải lần lượt như thế thì Nghĩa sẽ luôn luôn đoán đúng số Hiếu nghĩ.

Luyện tập 3

Giải phương trình:

Phương pháp giải:

Phương trình được giải như sau:

Lời giải chi tiết:

Phương trình có một nghiệm duy nhất

Vận dụng 1

Sandia Peak Tramway là hệ thống cáp treo nhịp đơn dài thứ hai thế giới với chiều dài khoảng 4 300 m, kéo dài từ bờ Đông Bắc của thành phố Albuquerque, tiểu bang New Mexico, Mỹ đến đỉnh núi Sandia. Một cabin rời trạm để đến đỉnh Sandia với tốc độ trung bình 360 m/phút. Gọi y (m) là khoảng cách từ cabin đến đỉnh núi Sandia sau khi cabin rời trạm x phút.

a) Viết công thức biểu diễn y theo x

b) Sau bao lâu kể từ khi rời trạm thì cabin lên đến đỉnh núi Sandia?

Phương pháp giải:

Dựa vào mối quan hệ giữa để biểu diễn y theo x. Sau đó xác định sau bao lâu kể từ khi rời trạm thì cabin lên đến đỉnh núi.

Lời giải chi tiết:

a)     Công thức:

b)    Để cabin lên đến đỉnh núi Sandia thì khoảng cách từ cabin đến đỉnh núi là , ta có:

Sau khoảng 12 phút kể từ khi rời trạm thì cabin lên đến đỉnh núi.

Luyện tập 4

Giải các phương trình sau:

a)    

b)   

Phương pháp giải:

Áp dụng cách giải phương trình bậc nhất một ẩn để giải các phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

a)     Ta có:

Phương trình có nghiệm

b)    Ta có:

Phương trình vô nghiệm

Luyện tập 5

Giải các phương trình sau:

a)    

b)   

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn để giải các phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

a)     Ta có:

Phương trình có nghiệm là

b)    Ta có:

Phương trình vô nghiệm.

Hoạt động 5

Hiện nay, tuổi của bố gấp ba lần tuổi của Huy. Huy thấy rằng 13 năm nữa thì tuổi bố gấp 2 lần tuổi mình.

a)     Gọi số tuổi của Huy hiện nay là x tuổi (x là số nguyên dương). Hãy biểu diễn số tuổi hiện nay của bố theo x.

b)    Hãy biểu diễn số tuổi của bố và tuổi Huy sau 13 năm nữa theo x. Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa tuổi bố và tuổi Huy sau 13 năm nữa.

c)     Hỏi năm nay Huy bao nhiêu tuổi?

Phương pháp giải:

Vận dụng phương trình bậc nhất một ẩn để giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn theo các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

-         Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

-         Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

-         Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Gọi số tuổi của Huy hiện nay là x tuổi ( )

Tuổi của bố gấp 3 lần tuổi của Huy, vậy số tuổi hiện nay của bố là: (tuổi)

Huy thấy rằng 13 năm nữa thì tuổi bố gấp 2 lần tuổi mình, vậy số tuổi sau 13 năm nữa của Huy là: (tuổi)

Số tuổi sau 13 năm nữa của bố là: ( tuổi)

Ta có phương trình:

Vậy năm nay Huy 26 tuổi.

Vận dụng 2

Theo báo cáo tổng kết năm học 2020 – 2021 của lớp 8A: Số học sinh giỏi học kì I và học kì II lần lượt chiếm tỉ lệ 30% và 40% số học sinh cả lớp; học kì II có nhiều hơn 4 học sinh giỏi so với học kì I. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh, biết sĩ số lớp không đổi trong suốt năm học này?

Phương pháp giải:

Vận dụng phương trình bậc nhất một ẩn để giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn theo các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

-         Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

-         Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

-         Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Gọi sĩ số lớp 8A là x

Số học sinh giỏi học kì I là: (học sinh)

Số học sinh giỏi học kì II là: (học sinh)

Mà học kì II có nhiều hơn 4 học sinh giỏi so với học kì I, ta có phương trình:

Vậy lớp 8A có tổng cộng 40 học sinh.

Vận dụng 3

Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng. Cùng lúc đó, trên tuyến đường này, một ô tô xuất phát từ Hải Phòng đi Hà Nội với tốc độ lớn hơn tốc độ của xe máy 20 km/h. Hai xe gặp nhau sau khi mỗi xe đã đi được 1 giờ 12 phút. Tìm tốc độ xe máy, biết quãng đường Hà Nội – Hải Phòng dài 120km.

Phương pháp giải:

Vận dụng phương trình bậc nhất một ẩn để giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn theo các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

-         Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

-         Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

-         Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Gọi tốc độ xe máy là x

Tốc độ của ô tô lớn hơn tốc độ của xe máy 20 km/h: (km/h)

Sau 1 giờ 12 phút, ô tô đi được quãng đường là: (km)

Sau 1 giờ 12 phút, xe máy đi được quãng đường là: (km)

Biết quãng đường Hà Nội – Hải Phòng dài 120 km, ta có phương trình:

Vậy tốc độ xe máy là .