Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Tập nghiệm của cặp phương trình sau có bằng nhau không?

a) \({x^2} - x = 0\) và \(\frac{{3x}}{{x - 4}} + x = 0\).

b) \({x^2} - 1 = 0\) và \(1 - x = 0\).

Phương pháp giải:

Giải phương trình và so sánh hai tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a)

\({x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

\(\frac{{3x}}{{x - 4}} + x = 0\) (ĐK: \(x \ne 4\))

\( \Leftrightarrow \frac{{3x + x\left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} = 0 \Leftrightarrow 3x + {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,({\rm{TM)}}\\x = 1\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\)

Vậy hai phương trình này có tập nghiệm bằng nhau là \(\left\{ {0;1} \right\}\).

b)

 \(\begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\\1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của hai phương trình này không bằng nhau.

Luyện tập 1

Các cặp phương trình sau có tương đương không? Vì sao?

a) \({x^2} = 4\) và \(\left| x \right| = 2\).

b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0\) và \(3 - x = 0\).

Phương pháp giải:

Giải phương trình và so sánh tập nghiệm của hai phương trình.

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}{x^2} = 4 \Leftrightarrow x \pm 2\\\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow x =  \pm 2\end{array}\)

Vậy hai phương trình trên tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là \(\left\{ { - 2;2} \right\}\).

b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0\) (ĐK: \(x \ge 4\))

\(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\1 + \sqrt {x - 4}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {\rm{L}} \right)\\\sqrt {x - 4}  =  - 1\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\)

\(3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy hai phương trình trên không tương đương vì chúng không có cùng tập nghiệm.

Luyện tập 2

Các phép biến đổi sau có đúng không? Vì sao?

\(x - \frac{1}{{x - 2}} = 2 - \frac{1}{{x - 2}} \Leftrightarrow x - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} = 2 - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} \Leftrightarrow x = 2\)

Phương pháp giải:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của một phương trình thì phép biến đổi đó đúng: cộng trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Lời giải chi tiết:

Phép biến đổi sau đúng vì ta cộng hai vế với cùng một biểu thức \(\frac{1}{{x - 2}}\) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.

Hoạt động 2

Trong Hình 1.45, xét đường thẳng \(y = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \sin x\).

a) Dựa vào Hình 1.45, cho biết trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.45, trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\) và \(\pi  - a\).

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm lần lượt từ trái sang phải là \( - 3\pi  - a;a - 2\pi ; - \pi  - a;a;\pi  - a;a + 2\pi ;3\pi  - a\).

Luyện tập 3

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin x = \frac{1}{3};\)

b) \(\sin 2x =  - \frac{1}{2};\)

c) \(\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin 0,34\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,34 + k2\pi \\x = \pi  - 0,34 + k2\pi  \approx 2,8 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = 0,34 + k2\pi ,x = 2,8 + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b)

\(\begin{array}{l}\sin 2x =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi  = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \sin \left( {{{45}^0}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {30^0} = {45^0} + k{360^0}\\x + {30^0} = {180^0} - {45^0} + k{360^0} = {135^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {15^0} + k{360^0}\\x = {180^0} - {45^0} - {30^0} + k{360^0} = {105^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {15^0} + k{360^0},x = {105^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Luyện tập 4

Giải phương trình: \(\sin 4x =  - \sin \left( {\pi  - x} \right)\).

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin x =  - \sin \alpha \\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \alpha } \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \alpha  + k2\pi \\x = \pi  + \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 4x =  - \sin \left( {\pi  - x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( { - \pi  + x} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}4x =  - \pi  + x + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \pi  + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =  - \pi  + k2\pi \\2x = 2\pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \pi  + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},x = \pi  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vận dụng 1

Giả sử số lượng N của một loài hươu sau t năm được xác định bởi công thức

\(N = 30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right)\)

Xác định năm đầu tiên mà số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con theo công thức trên.

Phương pháp giải:

Thay N = 50000 vào phương trình. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

Lời giải chi tiết:

Thay N = 50000 vào phương trình, ta có:

\(\begin{array}{l}30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 50000\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \Rightarrow \frac{{\pi t}}{{10}} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 5 + k20\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy sau 5 năm đầu tiên thì số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con.

Hoạt động 3

Trong Hình 1.46, xét đường thẳng \(y = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \cos x\).

a) Dựa vào Hình 1.46, cho biết trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.46, trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \( - a\) và \(a\).

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \( - a - 2\pi ;a - 2\pi ; - a;a; - a + 2\pi ;a + 2\pi \).

Luyện tập 5

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3};\)

b) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1;\)

c) \(\cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cos x = m\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \pi  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \cos \left( {{{30}^0}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - {45^0} = {30^0} + k{360^0}\\x - {45^0} =  - {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {75^0} + k{360^0}\\x = {15^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {75^0} + k{360^0},x = {15^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Luyện tập 6

Giải phương trình sau: \(\sin 5x =  - \cos \left( {\pi  + x} \right).\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng \(\cos x = \cos \alpha \)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 5x =  - \cos \left( {\pi  + x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) = \cos \left( {\pi  + x} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 5x = \pi  + x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 5x =  - \pi  - x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - 4x =  - \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} - k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{{3\pi }}{8} - k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{{12}} - k\frac{\pi }{3},x = \frac{{3\pi }}{8} - k\frac{\pi }{2}\)

Vận dụng 2

Cường độ dòng điện i (ampe) qua một mạch điện xoay chiều được tính bởi công thức \(i = 10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right),\) trong đó t là thời gian tính bằng giây. Xác định thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe.

Phương pháp giải:

Thay i = 10 vào công thức. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

Lời giải chi tiết:

Thay i = 10 vào công thức, ta có:

\(\begin{array}{l}10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right) = 10\\ \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}100\pi t = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\100\pi t =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\\t =  - \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe là \(\frac{1}{{400}}\) giây.

Hoạt động 4

Trong Hình 1.47, xét đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = \tan x\).

a) Dựa vào Hình 1.47, cho biết trên đoạn \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.47, trên đoạn \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a - 2\pi ,a - \pi ,a,a + \pi ,a + 2\pi \).

Luyện tập 7

Giải các phương trình sau:

a) \(\tan 3x = 1;\)

b) \(\tan 4x =  - 1,5;\)

c) \(\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) =  - \sqrt 3 .\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\tan x = m\\ \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \\ \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\tan 3x = 1\\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)                  

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\tan 4x =  - 1,5\)

\(\begin{array}{l}\tan 4x = \tan a\\ \Leftrightarrow 4x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) =  - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan \left( {x + {{15}^0}} \right) = \tan \left( { - {{60}^0}} \right)\\ \Leftrightarrow x + {15^0} =  - {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x =  - {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vận dụng 3

Một người dẫn em gái của mình đến công viên để chơi xích đu. Lực đẩy theo phương ngang F (N) mà người đó dùng để đẩy em gái trong trò chơi này được xác định bởi công thức \(F = mg\tan \theta \), trong đó m (kg) là khối lượng của em gái, g là gia tốc trọng trường và \(\theta \) là góc tạo bởi xích đu khi bắt đầu được đẩy với phương thẳng đứng (Hình 1.49) (nguồn: https://www.khanacademy.org/science/physics/centripetal-force-and-gravitation/centripetal-forces/v/mass-swiging-in-a-horizontal-circle). Xác định góc \(\theta \) khi \(F = 400\sqrt 3 \)N, m = 40 kg và g = 10 m/s².

Phương pháp giải:

Thay \(F = 400\sqrt 3 \), m = 40 và g = 10 vào công thức. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm \(\theta \).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}400\sqrt 3  = 40.10.\tan \theta \\ \Leftrightarrow \tan \theta  = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan \theta  = \tan {60^0}\\ \Leftrightarrow \theta  = {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(\theta  = {60^0}\)

Hoạt động 5

Trong Hình 1.50, xét đường thẳng \(y = m\)và đồ thị hàm số \(y = \cot x\).

a) Dựa vào Hình 1.50, cho biết trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.50, trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).

b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a - 2\pi ,a - \pi ,a,a + \pi \).

Luyện tập 8

Giải các phương trình sau:

a) \(\cot 2x =  - 1;\)

b) \(\cot 6x = 4;\)

c) \(\cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 .\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cot a = m \Leftrightarrow \cot a = \cot b\\ \Leftrightarrow a = b + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\cot 2x =  - 1\\ \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow 2x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\cot 6x = 4\)

\(\begin{array}{l}\cot 6x = \cot a\\ \Leftrightarrow 6x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \cot \left( {{{30}^0}} \right)\\ \Leftrightarrow x - {45^0} = {30^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

LT 9

Dùng máy tính cầm tay, giải các phương trình sau (kết quả là độ, làm tròn đến hàng phần nghìn):

a) \(\sin x = 0,3;\)

b) \(\cos 2x =  - \frac{1}{2};\)

c) \(\tan x =  - 3.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\sin x = 0,3\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {{{17}^0}27'27,37''} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {17^0}27'27,37'' + k{360^0}\\x = {162^0}32'32,63'' + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {17^0}27'27,37'' + k{360^0},x = {162^0}32'32,63'' + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b)

\(\begin{array}{l}\cos 2x =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {{{120}^0}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = {120^0} + k{360^0}\\2x =  - {120^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {60^0} + k{180^0}\\x =  - {60^0} + k{180^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {60^0} + k{180^0},x =  - {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\tan x =  - 3\\ \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - {{71}^0}33'54,18''} \right)\\ \Leftrightarrow x =  - {71^0}33'54,18'' + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - {71^0}33'54,18'' + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

VD 4

Giải bài toán nêu ở đầu bài học.

Giả sử độ cao \(H\left( t \right)\) so với mặt đất của một ca-bin bánh xe đu quay sau t giây tại một khu vui chơi được xác định bởi công thức: \(H\left( t \right) =  - 8\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{30}} + 9} \right)\)(m), \(0 \le t \le 60\). Hỏi ca-bin này đạt độ cao 15 mét sau bao nhiêu giây?

Phương pháp giải:

Thay \(H\left( t \right)\) = 15 vào công thức. Giải phương trình tìm t.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l} - 8\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{30}}} \right) + 9 = 15\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{{30}}} \right) = -\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{{30}}} \right) = \cos 2,419\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{{30}} = 2,419 + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{{30}} =  - 2,419 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 23,1 + k60\\t \approx  - 23,1 + k60\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

+) \(t \approx 23,1 + k60\)

\(\begin{array}{l}0 \le t \le 60 \Leftrightarrow 0 \le 23,1 + k60 \le 60 \Leftrightarrow  - 0,385 \le k \le 0,615\\ \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = 23,1\end{array}\)

+) \(t \approx  - 23,1 + k60\)

\(\begin{array}{l}0 \le t \le 60 \Leftrightarrow 0 \le  - 23,1 + k60 \le 60 \Leftrightarrow 0,385 \le k \le 1,385\\ \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 36,9\end{array}\)

Vậy ca-bin này đạt độ cao 15 m sau 23,1 giây và 36,9 giây.