Bài 5. Phương trình và bất phương trình lôgarit Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Phương trình và bất phương trình logarit - SGK Toán 11 Cùng khám phá
A. Lý thuyết
1. Phương trình logarit cơ bản
Phương trình mũ cơ bản có dạng \({\log _a}x = b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
| Phương trình \({\log _a}x = b\) \((a > 0,a \ne 1)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\) với mọi b. |
Lưu ý: Nếu \(b = {\log _a}\alpha \) \((\alpha > 0)\) thì phương trình \({\log _a}x = b\) trở thành \({\log _a}x = {\log _a}\alpha \) với mọi b. Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \). Một cách tổng quát, với a > 0 và \(a \ne 1\) , ta có:
\({\log _a}A = {\log _a}B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\\A = B\end{array} \right.\).
2. Bất phương trình logarit cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({\log _a}x > b\) hoặc \({\log _a}x \ge b\), \({\log _a}x < b\), \({\log _a}x \le b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
|
Cho bất phương trình \({\log _a}x > b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu a > 1: Ta có \({\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}\). - Nếu 0 < a < 1: Ta có \({\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}\). |
Lưu ý:
Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: \({\log _a}x \ge b\), \({\log _a}x < b\), \({\log _a}x \le b\).
Nếu \(b = {\log _a}\alpha \) \((\alpha > 0)\) thì bất phương trình \({\log _a}x > b\) trở thành \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \). Khi đó:
- Nếu a > 1 thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \Leftrightarrow x > \alpha \).
- Nếu 0 < a < 1 thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \Leftrightarrow x < \alpha \).
Một cách tổng quát, ta có:
- Khi a > 1 thì \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0\).
- Khi 0 < a < 1 thì \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B\).
B. Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình:
a) \({\log _2}(x + 1) = 3\).
b) \(\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1)\).
Giải:
a) Điều kiện của phương trình là \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
Ta có \({\log _2}(x + 1) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = {2^3} \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7\).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.
b) Điều kiện của phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).
Ta có \(\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1) \Rightarrow x + 1 = {x^2} - 1\).
\(x + 1 = {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện của phương trình, ta loại x = -1 và nhận x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) \({\log _2}x > 7\).
b) \({\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10)\).
Giải:
a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \({\log _2}x > 7 \Leftrightarrow x > {2^7} \Leftrightarrow x > 128\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((128; + \infty )\).
b) Điều kiện của bất phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 12 > 0\\{x^2} + 7x + 10 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\\left[ \begin{array}{l}x < - 5\\x > - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > - 2\).
Vì cơ số 0,5 nhỏ hơn 1 nên \({\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10) \Leftrightarrow 6x + 12 > {x^2} + 7x + 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1\).
Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(( - 2;1)\).
Giải mục 1 trang 24, 25 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Hoạt động 1
Quan sát các đồ thị ở trên và hãy biện luận theo b số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và đường thẳng y = b.
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ.
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({\log _a}x = b\)
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\forall b\)
Luyện tập 1
Giải các phương trình
a) \({\log _2}\left( {2x + 6} \right) + {\log _2}x = 3\)
b) \(\log x = \log \left( {{x^2} + x - 1} \right)\)
Phương pháp giải:
\(b = {\log _a}A \Leftrightarrow {\log _a}A = {\log _a}B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\\A = B\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 6 > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 3\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\)
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {2x + 6} \right) + {\log _2}x = 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {2x + 6} \right)x} \right] = {\log _2}8\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x = 8\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {{\rm{TM}}} \right)\\x = - 4\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1
b) Điều kiện: x > 0
\(\begin{array}{l}\log x = \log \left( {{x^2} + x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = {x^2} + x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {{\rm{TM}}} \right)\\x = - 1\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm là x = 1
Giải mục 2 trang 25, 26 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Hoạt động 2
Ta biết: Với (C1) là đồ thị của hàm số y = f(x) và (C2) là đồ thị của hàm số y = g(x) thì tập hợp giá trị của x để (C1) nằm phía trên (C2) là tập nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x).
Quan sát các đồ thị (Hình 6.23 và 6.24) trong Hoạt động 1 và trong mỗi trường hợp, hãy tìm các tập nghiệm của bất phương trình \({\log _a}x > b\).
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ.
Lời giải chi tiết:
Nếu a > 1: \({\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}\)
Nếu 0 < a < 1: \({\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}\)
Luyện tập 2
Giải các bất phương trình:
a) \({\log _{0,2}}\left( {2x - 3} \right) \le 1\)
b) \(\ln \left( {2x + 3} \right) \le \ln \left( {3x + 1} \right)\)
Phương pháp giải:
Đưa \({\log _a}A > \alpha \) về dạng \({\log _a}A > {\log _a}B\)
Nếu a > 1: \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0\)
Nếu 0 < a < 1: \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B\)
Lời giải chi tiết:
a)
\(\begin{array}{l}{\log _{0,2}}\left( {2x - 3} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _{0,2}}\left( {2x - 3} \right) \le {\log _{0,2}}0,2\\ \Leftrightarrow 2x - 3 > 0,2\\ \Leftrightarrow x > 1,6\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left[ {\left. {1,6; + \infty } \right)} \right.\)
b)
\(\begin{array}{l}\ln \left( {2x + 3} \right) \le \ln \left( {3x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < 2x + 3 \le 3x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{3}{2}\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left[ {\left. {2; + \infty } \right)} \right.\)
Bài 6.17 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Giải các phương trình:
a) \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {6x + 1} \right) = 4\);
b) \({\log _3}\left( {x + 2} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4} \right)\);
c) \({\log _2}\left( {x - 5} \right) + {\log _2}\left( {x + 2} \right) = 3\);
d) \(\ln \left( {x - 1} \right) + \ln \left( {2x - 11} \right) = \ln 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\(b = {\log _a}A \Leftrightarrow {\log _a}A = {\log _a}B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\\A = B\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
a) ĐK: \(6x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{6}\).
\({\log _{\sqrt 2 }}\left( {6x + 1} \right) = 4\)
\(\Leftrightarrow 6x + 1 = (\sqrt{2})^4\)
\(\Leftrightarrow 6x + 1 = 4\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) (TM).
Vậy phương trình có nghiệm là x = \(\frac{1}{2}\).
b) ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\{x^2} - 4 > 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\).
\({\log _3}\left( {x + 2} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4} \right)\)
\(\Leftrightarrow x + 2 = {x^2} - 4\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {{\rm{TM}}} \right)\\x = - 2\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.
c) ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{5}{2}\\x > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}\).
\({\log _2}\left( {x - 5} \right) + {\log _2}\left( {x + 2} \right) = 3\)
\(\Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] = 3\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 8\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\left( {{\rm{TM}}} \right)\\x = - 3\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có nghiệm là x = 6.
d) ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\2x - 11 > 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x > \frac{{11}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{11}}{2}\).
\(\ln \left( {x - 1} \right) + \ln \left( {2x - 11} \right) = \ln 2\)
\(\Leftrightarrow \ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 11} \right)} \right] = \ln 2\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 13x + 11 = 2\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 13x + 9 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 5,7\left( {{\rm{TM}}} \right)\\x \approx 0,8\left( {{\rm{L}}} \right)\end{array} \right.\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x \approx 5,7\).
Bài 6.18 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Giải các bất phương trình:
a) \({\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2\)
b) \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)\)
c) \(\ln \left( {x + 1} \right) \le \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa \({\log _a}A > \alpha \) về dạng \({\log _a}A > {\log _a}B\)
Nếu a > 1: \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0\)
Nếu 0 < a < 1: \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B\)
Lời giải chi tiết
a) ĐK: x < 2
\(\begin{array}{l}{\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2\\ \Leftrightarrow {\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge {\log _8}64\\ \Leftrightarrow 4 - 2x \ge 64\\ \Leftrightarrow x \le - 30\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện suy ra, bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( {\left. { - \infty ; - 30} \right]} \right.\)
b)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < 3x - 5 < x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{5}{3}\\2x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{5}{3}\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{3} < x < 3\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( {\frac{5}{3};3} \right)\)
c)
\(\begin{array}{l}\ln \left( {x + 1} \right) \le \ln \left( {{x^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < x + 1 \le {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\{x^2} - x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\end{array}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left[ {\left. {2; + \infty } \right)} \right.\)
Bài 6.19 trang 26 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Tính biên độ rung chấn tối đa A của những cơn động đất (cho A0 = 1) có độ mạnh R (độ Richter) sau:
a) Đảo Haiti vào năm 2010, R = 7,0 (nguồn: https://tuoitre.vn/dong-dat-7-2-do-rung-chuyen-haiti-nha-cua-do-sap-20210814222841734.htm);
b) Đảo Samoa vào năm 2009, R = 8,1 (nguồn: https://dangcongsan.vn/the-gioi/nhung-van-de-toan-cau/cong-bo-cua-my-ve-tham-hoa-thien-nhien-nam-2009-1914.html).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức: \(R = \log \frac{A}{{{A_0}}}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(7 = \log \frac{A}{1} \Leftrightarrow A = {10^7}\)
Vậy biên độ rung chấn tối đa A của động đất ở đảo Haiti năm 2010 là \({10^7}\)
b) Ta có: \(8,1 = \log \frac{A}{1} \Leftrightarrow A = {10^{8,1}}\)
Vậy biên độ rung chấn tối đa A của động đất ở đảo Samoa năm 2009 là \({10^{8,1}}\)
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!