Bài 5. Thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đều Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt đều - SGK Toán 11 Cùng khám phá
A. Lý thuyết
1. Thể tích khối lăng trụ
| Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy. |
Lưu ý: Tên của khối lăng trụ được đặt theo tên của hình lăng trụ giới hạn nó.
| Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V = Sh. |
2. Thể tích khối chóp
| Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy. |
Lưu ý: Tên của khối chóp được đặt theo tên của hình chóp giới hạn nó.
| Thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là \(V = \frac{1}{3}Sh\). |
3. Thể tích khối chóp cụt đều
| Khối chóp cụt đều là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt đều kể cả hình chóp cụt đều ấy. |
Lưu ý: Tên của khối chóp cụt dều được đặt theo tên của hình chóp cụt đều giới hạn nó.
|
Thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao h và diện tích hai đáy lần lượt là S và S’: \(V = \frac{1}{3}h(S + S' + \sqrt {SS'} )\). |
B. Bài tập
Bài 1: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 2a, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là giao điểm O của AC và BD. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Giải:
ABCD là hình vuông cạnh a nên diện tích hình vuông ABCD là \({S_{ABCD}} = {a^2}\).
Hình chiếu của A’ trên (ABCD) là O nên chiều cao hình lăng trụ là A’O.
Ta có: \(A'{O^2} = A'{A^2} - A{O^2} = 4{a^2} - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)^2} = \frac{{14{a^2}}}{4} \Rightarrow A'O = \frac{{\sqrt {14} }}{2}a\).
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là \(V = A'O.{S_{ABCD}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}{a^3}\).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Biết rằng \(AB = \sqrt 2 a\), \(AC = \sqrt 3 a\). Tính thể tích của khối chóp này.
Giải:
Ta có A là hình chiếu của A trên mặt đáy (ABCD) nên chiều cao của hình chóp S.ABCD là SA = a.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(B{C^2} = A{C^2} - A{B^2} = {a^2} \Rightarrow BC = a\) nên diện tích ABCD là \({S_{ABCD}} = AB.BC = \sqrt 2 {a^2}\).
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ACBD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}{a^3}\).
Bài 3: Một phòng ngủ ngoài trời có hình dạng hình chóp cụt đều, cạnh đáy lớn bằng 150 cm, cạnh đáy nhỏ bằng 120 cm, chiều cao 180 cm. Tính thể tích phần không gian bên trong phòng ngủ.
Giải:
Cạnh đáy lớn bằng 150 cm nên diện tích đáy lớn là \(S = {150^2} = 22500\) \((c{m^2})\).
Cạnh đáy nhỏ bằng 120 cm nên diện tích đáy nhỏ là \(S' = {120^2} = 14400\) \((c{m^2})\).
Chiều cao chóp cụt là h = 180 cm.
Thể tích phòng ngủ là \(V = \frac{1}{3}h(S + S' + \sqrt {SS'} ) = 3294000\) \((c{m^3})\).
Giải mục 1 trang 80 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Hoạt động 1
Viết công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác (Hình 8.68) và khối lăng trụ đứng tứ giác (Hình 8.69) theo diện tích đáy S và đường cao h của nó.
Phương pháp giải:
V = S.h
Lời giải chi tiết:
Công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng: V = S.h
Luyện tập 1
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm I của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Phương pháp giải:
Công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = S.h
S: diện tích đáy, h: chiều cao
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm BC
\(AI = \sqrt {A{C^2} - I{C^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{1}{2}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
Tam giác AB đều nên AI vuông góc với BC hay AI vuông góc với (ABC)
Suy ra \(\widehat {\left( {AA',\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A'AI} = {30^0}\)
I là hình chiếu của A’ trên (ABC) nên A’I vuông góc với BC
Suy ra tam giác A’AI vuông tại I có:
\(\tan {30^0} = \frac{{A'I}}{{AI}} = \frac{{A'I}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}} \Rightarrow A'I = \frac{1}{2}a\)
\(V = {S_{\Delta ABC}}.A'I = \frac{1}{2}AI.BC.A'I = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.a.\frac{1}{2}a = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}\)
Giải mục 2 trang 81, 82 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Hoạt động 2
Viết công thức tính thể tích khối chóp tam giác đều (Hình 8.72) và khối chóp tứ giác đều (Hình 8.73) theo diện tích đáy S và chiều cao h của chúng.
Phương pháp giải:
\(V = \frac{1}{3}S.h\)
Lời giải chi tiết:
Công thức tính thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}S.h\)
Luyện tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, \(\widehat {ABC} = {60^0}\), SB = a. Hình chiếu của S trên (ABCD) là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD. Tính thể tích khối chóp này.
Phương pháp giải:
Hình thoi có 2 đường chéo vuông góc với nhau.
Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp: \(V = \frac{1}{3}S.h\)
Lời giải chi tiết:
ABCD là hình thoi có cạnh bằng a. Mà \(\widehat {ABC} = {60^0}\) nên AC = a
AC và BD vuông góc với nhau tại O, ta có: \(BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{1}{2}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
\( \Rightarrow BD = \sqrt 3 a\)
O là hình chiếu của S trên (ABCD) nên SO vuông góc với (ABCD)
Suy ra SO vuông góc với BD nên tam giác SOB vuông tại O
\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2}} = \frac{1}{2}a\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC.BD.SO = \frac{1}{6}.a.\sqrt 3 a.\frac{1}{2}a\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\end{array}\)
Giải mục 3 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Luyện tập 3
Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh bên bằng 8a, cạnh đáy lớn bằng 5a, cạnh đáy nhỏ bằng a. Tính thể tích hình chóp cụt đều này.
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao h và diện tích 2 đáy lần lượt là S và S’:
Lời giải chi tiết:
Kẻ D’E và D’F vuông góc với CD nên D’E // D’F
Mà C’D’ // EF nên D’C’FE là hình bình hành. Suy ra EF = D’C’ = a
Vận dụng
Bạn An muốn làm các viên nước đá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có đáy lớn bằng 3 cm, đáy nhỏ bằng 1,5 cm và cao 3 cm bằng cách dùng khay đá, mỗi khay sẽ tạo được 6 viên đá. Hỏi bạn An cần ít nhất bao nhiêu khay để chứa đồng thời 2 lít nước?
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao h và diện tích 2 đáy lần lượt là S và S’: để tính thể tích mỗi viên nước đá.
Lời giải chi tiết:
2 lít = 2000 cm3
(cm3)
Từ 2 lít nước có thể tạo ra số viên đá là: (viên)
Ta có:
Vậy cần ít nhất 22 khay nước để chứa đồng thời 2 lít nước.
Bài 8.29 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB và tam giác SAB vuông tại S. Tính thể tích khối chóp này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức tính thể tích hình chóp: \(V = \frac{1}{3}S.h\) với S là diện tích đáy, h là đường cao.
Hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao: \(AB.AC = AH.BC\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{B^2} + C{B^2}} \\ \Leftrightarrow 2a = \sqrt {2A{B^2}} \\ \Leftrightarrow 4{a^2} = 2A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = 2{a^2}\\ \Leftrightarrow AB = \sqrt 2 a\end{array}\)
Xét tam giác SAB vuông tại S:
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {S{A^2} + S{B^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 a = \sqrt {2S{A^2}} \\ \Leftrightarrow 2{a^2} = 2S{A^2}\\ \Leftrightarrow SA = a\end{array}\)
Tam giác vuông SAB có SH là đường cao có:
\(\begin{array}{l}SH.AB = SA.SB\\ \Leftrightarrow SH = \frac{{a.a}}{{\sqrt 2 a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{a}a\end{array}\)
\(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.A{B^2}.SH = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt 2 a} \right)^2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}a = \frac{{\sqrt 2 }}{3}{a^3}\)
Bài 8.30 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Biết AA’ = 2a, tính thể tích khối lăng trụ này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức tính thể tích hình lăng trụ: V = S.h với S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Lời giải chi tiết
Gọi D là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC
A’.ABC là chóp tam giác đều nên A’G vuông góc với (ABC). Suy ra A’G là chiều cao của hình lăng trụ
Tam giác ABC đều có cạnh bằng a nên BD vuông góc với AC
Ta có: \(BD = \sqrt {A{B^2} - A{D^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{1}{2}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
\(BG = \frac{2}{3}BD = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\)
Xét tam giác vuông A’BG vuông tại G có:
\(A'G = \sqrt {A'{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a\)
\(V = S.h = \frac{1}{2}.BD.AC.A'G = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.a.\frac{{\sqrt {33} }}{3}a = \frac{{\sqrt {11} }}{4}{a^3}\)
Bài 8.31 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình chữ nhật, AB = 3a và AD = 4a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AD và AA’ = 4a. Tính thể tích khối hộp này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức tính thể tích hình hộp: V = S.h với S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Lời giải chi tiết
Gọi E là trung điểm của AD nên AE = 2a
Bài 8.32 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Một khối hộp chữ nhật làm từ kim loại rắn có đáy hình chữ nhật kích thước 48 cm x 25 cm. Khối kim loại này sau đó được nung chảy và đúc lại thành khối chóp đáy hình vuông với độ cao không đổi. Tìm độ dài cạnh đáy của khối chóp này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật: \(V = abc\) với a là chiều dài đáy, b là chiều rộng đáy, c là chiều cao.
Công thức tính thể tích hình chóp là: \(V = \frac{1}{3}S.h\) với S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Lời giải chi tiết
Gọi chiều cao của khối hộp chữ nhật là h
Thể tích khối hộp chữ nhật là: \(V = 48.25.h = 1200.h\) (cm3)
Gọi độ dài đáy khối chóp là a (cm)
Ta có:
\(\begin{array}{l}1200.h = \frac{1}{3}.S.h\\ \Leftrightarrow S = 3600\\ \Leftrightarrow {a^2} = 3600\\ \Leftrightarrow a = 60\end{array}\)
Vậy cạnh đáy của khối chóp dài 60cm.
Bài 8.33 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Một chiếc bút chì màu vỏ gỗ, chưa gọt, dài 20 cm, có dạng hình lăng trụ đứng với đáy là lục giác đều cạnh 3 mm. Tính thể tích của chiếc bút chì màu này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ: \(V = S.h\) với S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Diện tích lục giác đều cạnh a: \(S = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}\)
Lời giải chi tiết
\(S = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2} = \frac{{3\sqrt 3 {{.3}^2}}}{2} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}\)(mm2)
\(V = S.h = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}.200 \approx 4677\)(mm3)
Bài 8.34 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Tính thể tích phần không gian bên trong ngôi nhà có dạng hình lăng trụ đứng, đáy là ngũ giác (các kích thước như Hình 8.81).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ: \(V = S.h\) với S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Đáy là hình tạo bởi 1 tam giác và một hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
\(S = 3,5.6 + \frac{1}{2}.1,2.6 = 24,6\) (m2)
\(V = S.h = 24,6.15 = 369\) (m3)
Bài 8.35 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Một li đựng bắp rang bơ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với cạnh đáy lớn bằng 10 cm, cạnh đáy nhỏ bằng 6 cm, chiều cao bằng 14 cm (Hình 8.82). Tính thể tích li này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao h và diện tích 2 đáy lần lượt là S và S’: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + S' + \sqrt {SS'} } \right)\).
Chóp cụt tứ giác đều có 2 đáy là hình vuông.
Lời giải chi tiết
\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + S' + \sqrt {SS'} } \right) = \frac{1}{3}.14.\left( {{{10}^2} + {6^2} + \sqrt {{{10}^2}{{.6}^2}} } \right) \approx 915\) (cm3)
Bài 8.36 trang 83 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Một chụp dàn hình chóp cụt đầu (Hình 8.83) có chiều cao bằng 24 cm, đây là lục giác đều, độ dài cạnh đáy lớn bằng 17,5 cm và dộ dài cạnh đáy nhỏ bằng 10,5 cm. Tính thể tích phần không gian bên trong của chụp đèn này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao h và diện tích 2 đáy lần lượt là S và S’: \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + S' + \sqrt {SS'} } \right)\).
Diện tích lục giác đều cạnh a: \(S = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}\)
Lời giải chi tiết
\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + S' + \sqrt {SS'} } \right) = \frac{1}{3}.24.\left( {\frac{{3\sqrt 3 .17,{5^2}}}{2} + \frac{{3\sqrt 3 {{.10,5}^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{3\sqrt 3 .17,{5^2}}}{2}.\frac{{3\sqrt 3 {{.10,5}^2}}}{2}} } \right)\)
\( \approx 12476\) (cm3)
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!