Bài 5 trang 106

Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:

Đề bài

Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:

a) Chứng minh rằng $B C ∥ (S A D)$ và tính khoảng cách giữa $B C$ và mặt phẳng $(S A D)$ .

b) Chứng minh rằng $B D ⊥ (S A C)$ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B D$ và $S C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trên mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cách 1: Dựng đường vuông góc chung.

Cách 2: Tính khoảng cách từ đường thẳng này đến một mặt phẳng song song với đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết

a) $A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow B C ∥ A D$

Mà $A D \subset (S A D)$

$\Rightarrow B C ∥ (S A D) \Rightarrow d (B C, (S A D)) = d (B, (S A D))$

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B$

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A B ⊥ A D$

$\Rightarrow A B ⊥ (S A D) \Rightarrow d (B, (S A D)) = A B = a$

Vậy $d (B C, (S A D)) = a$ .

b) $A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow B D ⊥ A C$

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D$

$\Rightarrow B D ⊥ (S A C)$

Gọi $O = A C \cap B D$ , kẻ $O H ⊥ S C (H \in S C)$

$B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ O H$

$\Rightarrow d (B D, S C) = O H$

$Δ A B C$ vuông tại $B$ $\Rightarrow A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow O C = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C \Rightarrow Δ S A C$ vuông tại $A$ $\Rightarrow S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = a \sqrt{3}$

$Δ S A C ∽ Δ O H C (g . g) \Rightarrow \frac{S A}{O H} = \frac{S C}{O C} \Rightarrow O H = \frac{S A . O C}{S C} = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Vậy $d (B D, S C) = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ .