Bài 5 trang 19

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $\sin^{4} α - \cos^{4} α = 1 - 2 \cos^{2} α$

b) $\tan α + \cot α = \frac{1}{\sin α . \cos α}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào các hệ thức cơ bản của lượng giác để chứng minh

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \sin^{4} α - \cos^{4} α = 1 - 2 \cos^{2} α \\ \Leftrightarrow (\sin^{2} α + \cos^{2} α) (\sin^{2} α - \cos^{2} α) = 1 - 2 \cos^{2} α \\ \Leftrightarrow \sin^{2} α - \cos^{2} α - 1 + 2 \cos^{2} α = 0 \\ \Leftrightarrow \sin^{2} α + \cos^{2} α - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow 1 - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow 0 = 0 \end{array}$

Đẳng thức luôn đúng.

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \tan α + \cot α = \frac{1}{\sin α . \cos α} \\ \Leftrightarrow \frac{\sin α}{\cos α} + \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{1}{\sin α . \cos α} \\ \Leftrightarrow \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\cos α . \sin α} = \frac{1}{\sin α . \cos α} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{\sin α . \cos α} = \frac{1}{\sin α . \cos α} \end{array}$

Đẳng thức luôn đúng.