Bài 5 trang 19

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a)    ${\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =1-2{\cos }^2\alpha$

b)    $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }$

Lời giải chi tiết

a)    Ta có:

$\begin{array}{c}{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =1-2{\cos }^2\alpha \\ \iff \left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)\left({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha \right)=1-2{\cos }^2\alpha \\ \iff {\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha -1+2{\cos }^2\alpha =0\\ \iff {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -1=0\\ \iff 1-1=0\\ \iff 0=0\end{array}$

Đẳng thức luôn đúng.

b)    Ta có:

$\begin{array}{c}\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }\\ \iff \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }\\ \iff \frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha .\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }\\ \iff \frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha .\cos \alpha }\end{array}$

Đẳng thức luôn đúng.