Bài 5 trang 50

Cho dãy số (un)(un)\left( {{u_n}} \right) với un=2n−1n+1un=2n−1n+1{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}. Chứng minh (un)(un)\left( {{u_n}} \right) là dãy số tăng và bị chặn.

Đề bài

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ .

Chứng minh $(u_{n})$ là dãy số tăng và bị chặn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

• Chứng minh $(u_{n})$ là dãy số tăng:

Bước 1: Tìm $u_{n + 1}$ .

Bước 2: Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Bước 3: Chứng minh $u_{n + 1} - u_{n} > 0 \Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}, \forall n \in N^{*}$ , từ đó kết luận dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

• Chứng minh $(u_{n})$ bị chặn: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

• Ta có: $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{(n + 1) + 1} = \frac{2 n + 2 - 1}{n + 1 + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{(2 n + 1) (n + 1) - (2 n - 1) (n + 2)}{(n + 2) (n + 1)} \\ = \frac{(2 n^{2} + n + 2 n + 1) - (2 n^{2} - n + 4 n - 2)}{(n + 2) (n + 1)} \\ = \frac{2 n^{2} + n + 2 n + 1 - 2 n^{2} + n - 4 n + 2}{(n + 2) (n + 1)} = \frac{3}{(n + 2) (n + 1)} > 0, \forall n \in N^{*} \end{array}$

Vậy $u_{n + 1} - u_{n} > 0 \Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ . Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

• Ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 3}{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 1}$

$\forall n \in N^{*}$ ta có:

$n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{n + 1} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{n + 1} < 2 \Leftrightarrow u_{n} < 2$ . Vậy $(u_{n})$ bị chặn trên.

$n \geq 1 \Leftrightarrow n + 1 \geq 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \geq 2 \Leftrightarrow \frac{3}{n + 1} \leq \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{n + 1} \geq 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow u_{n} \geq \frac{1}{2}$

Vậy $(u_{n})$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $(u_{n})$ bị chặn.