Bài 5 trang 56

Cho tứ diện (ABCD). Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (BC) và (A{rm{D}}).

Đề bài

Cho tứ diện $A B C D$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $A D$ . Biết $A B = C D = 2 a$ và $M N = a \sqrt{3}$ . Tính góc giữa $A B$ và $C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ :

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a^{'} ∥ a$ và đường thẳng $b^{'} ∥ b$ .

Bước 3: Tính $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $P$ là trung điểm của $A C$ .

Ta có: $M$ là trung điểm của $B C$ .

$P$ là trung điểm của $A C$ .

$\Rightarrow M P$ là đường trung bình của tam giác $A B C$ .

$\Rightarrow M P ∥ A B, M P = \frac{1}{2} A B = a$ .

$N$ là trung điểm của $A D$ .

$P$ là trung điểm của $A C$ .

$\Rightarrow N P$ là đường trung bình của tam giác $A C D$ .

$\Rightarrow N P ∥ C D, N P = \frac{1}{2} C D = a$ .

Ta có: $M P ∥ A B, N P ∥ C D \Rightarrow (A B, C D) = (M P, N P)$ .

Xét tam giác $M N P$ có:

$\cos \hat{M P N} = \frac{M P^{2} + N P^{2} - M N^{2}}{2. M P . N P} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{M P N} = 120^{\circ}$ .

Vậy $(A B, C D) = 180^{\circ} - \hat{M P N} = 60^{\circ}$ .