Bài 5 trang 64

Đề bài

Một cái lều có dạng hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh bên $A A^{'}$ vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết $A B = A C = 2, 4 m$ ; $B C = 2 m$ ; $A A^{'} = 3 m$ .

a) Tính góc giữa hai đường thẳng $A A^{'}$ và $B C$ ; $A^{'} B^{'}$ và $A C$ .

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác $A B B^{'}$ trên mặt phẳng $(B B^{'} C^{'} C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ :

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a^{'} ∥ a$ và đường thẳng $b^{'} ∥ b$ .

Bước 3: Tính $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

b) Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $A A^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow A A^{'} ⊥ B C \Rightarrow (A A^{'}, B C) = 90^{\circ}$ .

$A^{'} B^{'} ∥ A B \Rightarrow (A^{'} B^{'}, A C) = (A B, A C) = \hat{B A C}$ .

Xét tam giác $A B C$ có:

$\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{47}{72} \Rightarrow \hat{B A C} \approx 49^{\circ} 15^{'}$ .

Vậy $(A^{'} B^{'}, A C) \approx 49^{\circ} 15^{'}$ .

b) Gọi $I$ là trung điểm của $B C$ .

Tam giác $A B C$ cân tại $A \Rightarrow A I ⊥ B C$ .

$\begin{array}{l} A A^{'} ⊥ (A B C) \\ B B^{'} ∥ A A^{'} \end{array}} \Rightarrow B B^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow B B^{'} ⊥ A I$ .

$\Rightarrow A I ⊥ (B B^{'} C^{'} C)$ .

$\Rightarrow I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(B B^{'} C^{'} C)$ .

Có $B, B^{'} \in (B B^{'} C^{'} C)$ .

Vậy $Δ I B B^{'}$ là hình chiếu vuông góc của $Δ A B B^{'}$ trên mặt phẳng $(B B^{'} C^{'} C)$ .

Ta có: $B B^{'} = A A^{'} = 3$ , $B I = \frac{1}{2} B C = 1$

$\Rightarrow S_{Δ I B B^{'}} = \frac{1}{2} B B^{'} . B I = 1, 5 (m^{2})$ .