Bài 5 trang 70

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Đề bài

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông $H_{0}$ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông $H_{0}$ thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình $H_{1}$ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của $H_{1}$ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình $H_{2}$ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình $H_{n} (n = 1, 2, 3, . . .)$ .

Ta có: $H_{1}$ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$ ;

$H_{2}$ có $5.5 = 5^{2}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{3^{2}}$ ;…

Từ đó, nhận được hình $H_{n}$ có $5^{n}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3^{n}}$ .

a) Tính diện tích $S_{n}$ của $H_{n}$ và tính $lim S_{n}$ .

b) Tính chu vi $p_{n}$ của $H_{n}$ và tính $lim p_{n}$ .

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích $lim S_{n}$ và chu vi $lim p_{n}$ ).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ : $S = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . = \frac{u_{1}}{1 - q}$ và công thức tính giới hạn cơ bản: $lim q^{n} = 0$ , với $q$ là số thực thỏa mãn $| q | < 1$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

Diện tích $H_{1}$ bằng $5. {(\frac{1}{3})}^{2}$ ;

Diện tích $H_{2}$ bằng $5^{2} . {({(\frac{1}{3})}^{2})}^{2} = 5^{2} . {(\frac{1}{3^{2}})}^{2}$ ;

Diện tích $H_{3}$ bằng $5^{3} . {({(\frac{1}{3})}^{3})}^{2} = 5^{3} . {(\frac{1}{3^{3}})}^{2}$ ;

…

Diện tích $H_{n}$ bằng $5^{n} . {(\frac{1}{3^{n}})}^{2}$ .

$S_{n} = 5^{n} . {(\frac{1}{3^{n}})}^{2} = 5^{n} . \frac{1}{9^{n}} = {(\frac{5}{9})}^{n}, n = 1, 2, 3, . . .$

$lim S_{n} = lim {(\frac{5}{9})}^{n} = 0$

b) Ta có:

Chu vi $H_{1}$ bằng $5.4. \frac{1}{3} = 4. \frac{5}{3}$ ;

Chu vi $H_{2}$ bằng $5^{2} .4 . {(\frac{1}{3})}^{2} = 4. {(\frac{5}{3})}^{2}$ ;

…

Chu vi $H_{n}$ bằng $5^{n} .4 . {(\frac{1}{3})}^{n} = 4. {(\frac{5}{3})}^{n}$ .

$p_{n} = 5^{n} .4 . \frac{1}{3^{n}} = 4. {(\frac{5}{3})}^{n}, n = 1, 2, 3, . . .$

$lim p_{n} = lim (4. {(\frac{5}{3})}^{n})$

Vì $lim \frac{1}{4. {(\frac{5}{3})}^{n}} = \frac{1}{4} . lim {(\frac{3}{5})}^{n} = 0$ và $4. {(\frac{5}{3})}^{n} > 0$ với mọi $n$ nên $lim p_{n} = lim (4. {(\frac{5}{3})}^{n}) = + \infty$ .