Bài 5 trang 74

Đề bài

Cho hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng $2a$, cạnh đáy nhỏ và đường nối tâm hai đáy bằng $a$. Tính độ dài cạnh bên và đường cao của mỗi mặt bên.

Lời giải chi tiết

 

Gọi $O$ và $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai đáy.

Kẻ $B^{\prime }H\perp BD\left(H\in BD\right),B^{\prime }K\perp BC\left(K\in BC\right)$

$\begin{array}{c}BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=2a\sqrt{2}\Rightarrow BO=\frac{1}{2}BD=a\sqrt{2}\\ B^{\prime }{D}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }B{}^{\prime 2}+A^{\prime }D{{}^{\prime }}^2}=a\sqrt{2}\Rightarrow B^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{1}{2}{B}^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{a\sqrt{2}}{2}\end{array}$

$O{O}^{\prime }{B}^{\prime }H$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OH=B^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{a\sqrt{2}}{2},B^{\prime }H=O{O}^{\prime }=a$

$\Rightarrow BH=BO-OH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác $B{B}^{\prime }H$ vuông tại $H$ có: $B{B}^{\prime }=\sqrt{B^{\prime }{H}^2+B{H}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

$BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thang cân $\Rightarrow BK=\frac{BC-B^{\prime }{C}^{\prime }}{2}=\frac{a}{2}$

Tam giác $B{B}^{\prime }K$ vuông tại $K$ có: $B^{\prime }K=\sqrt{BB{}^{\prime 2}-B{K}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$