Bài 5 trang 77

Cho hàm số f(x)={x2+x+1,x≠42a+1,x=4f(x)={x2+x+1,x≠42a+1,x=4f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1,\,\,x \ne 4\\2a + 1,\,\,x = 4\end{array} \right. a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4. b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4? c) Với giá trị nào của a

Đề bài

Cho hàm số $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + x + 1, x \neq 4 \\ 2 a + 1, x = 4 \end{cases}$

a) Với a = 0, xét tính liên tục của hàm số tại x = 4.

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 4?

c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Hàm số $y = f (x)$ được gọi là liên tục tại $x_{0}$ nếu $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

- Các hàm đa thức liên tục trên $R$

Lời giải chi tiết

a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:

$\begin{array}{l} lim_{x \to 4} f (x) = lim_{x \to 4} (x^{2} + x + 1) = 4^{2} + 4 + 1 = 21 \\ f (4) = 2.0 + 1 = 1 \\ \Rightarrow lim_{x \to 4} f (x) \neq f (4) \end{array}$

Do đó hàm số không liên tục tại x = 4.

b) Ta có:

$\begin{array}{l} lim_{x \to 4} f (x) = lim_{x \to 4} (x^{2} + x + 1) = 4^{2} + 4 + 1 = 21 \\ f (4) = 2 a + 1 \end{array}$

Để hàm số liên tục tại x = 4 thì $lim_{x \to 4} f (x) = f (4)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 21 = 2 a + 1 \\ \Leftrightarrow 2 a = 20 \\ \Leftrightarrow a = 10 \end{array}$

Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.

c) TXĐ: $R$

Với $x \in (- \infty; 4)$ có $f (x) = x^{2} + x + 1$ liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Với $x \in (4; + \infty)$ có $f (x) = 2 a + 1$ liên tục với mọi x thuộc khoảng này.

Do đó hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ khi hàm số $f (x)$ liên tục tại điểm x = 4 khi a = 10.

Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.