Bài 5 trang 79

Đề bài

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}2x+a& x<2\\ 4& x=2\\ -3x+b& x>2\end{array}$

a) Với $a=0,b=1$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=2$.

b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại $x=2$ ?

c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?

Lời giải chi tiết

Với a = 0, b = 1, hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}2x& x<2\\ 4& x=2\\ -3x+1& x>2\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{c}\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(-3x+1\right)=-3.2+1=-5\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(2x\right)=2.2=4\\ \Rightarrow \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)\end{array}$

Do đó không tồn tại giới hạn $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)$

Vậy hàm số không liên tục tại x = 2.

b) Ta có:

 $\begin{array}{c}\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(-3x+b\right)=-3.2+b=-6+b\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(2x+a\right)=2.2+a=4+a\\ f\left(2\right)=4\end{array}$

Để hàm số liên tục tại x = 2 thì $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(2\right)$

$\iff -6+b=4+a=4\iff \{\begin{array}{c}4+a=4\\ -6+b=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=0\\ b=10\end{array}$

Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.

c) Tập xác định của hàm số là: ℝ.

Với x < 2 thì $f\left(x\right)=2x+a$ là hàm đa thức nên liên tục.

Với x > 2 thì $f\left(x\right)=-3x+b$ là hàm đa thức nên liên tục.

Do đó để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại x = 2.

Vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.