Bài 5 trang 85

Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m.

Đề bài

Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng 135°. Tính số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách xác định góc nhị diện $[P_{1}, d, Q_{1}]$

Bước 1: Xác định $c = (P_{1}) \cap (Q_{1})$ .

Bước 2: Tìm mặt phẳng $(R) \supset c$ .

Bước 3: Tìm $p = (R) \cap (P_{1}), q = (R) \cap (Q_{1}), O = p \cap q, M \in p, N \in q$ .

Khi đó $[P_{1}, d, Q_{1}] = \hat{M O N}$ .

‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: $V = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S S^{'}} + S^{'})$ .

Lời giải chi tiết

Mô hình hoá cái hầm bằng cụt chóp tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ với $O, O^{'}$ là tâm của hai đáy. Vậy $A B = 14, A^{'} B^{'} = 10$ .

Gọi $M, M^{'}$ lần lượt là trung điểm của $C D, C^{'} D^{'}$ .

$A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình vuông $\Rightarrow O^{'} M^{'} ⊥ C^{'} D^{'}$ .

$C D D^{'} C^{'}$ là hình thang cân $\Rightarrow M M^{'} ⊥ C^{'} D^{'}$ .

Vậy $\hat{M M^{'} O^{'}}$ là góc nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ.

$\Rightarrow \hat{M M^{'} O^{'}} = 135^{\circ} \Rightarrow \hat{M^{'} M O} = 180^{\circ} - \hat{M M^{'} O^{'}} = 45^{\circ}$ .

Kẻ $M^{'} H ⊥ O M (H \in O M)$ .

$O H M^{'} O^{'}$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow O H = O^{'} M^{'} = 5, M H = O M - O H = 7 - 5 = 2, M^{'} H = O O^{'} = M H . \tan 45^{\circ} = 2$ .

Diện tích đáy lớn là: $S = A B^{2} = 14^{2} = 196 (m^{2})$ .

Diện tích đáy bé là: $S^{'} = A^{'} B^{' 2} = 10^{2} = 100 (m^{2})$ .

Số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm là:

$V = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S S^{'}} + S^{'}) = \frac{1}{3} .2 (196 + \sqrt{196.100} + 100) = \frac{872}{3} \approx 290, 67 (m^{3})$ .