Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Giải bài 1.41 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Bác Hưng có một hàng rào thép dài \(240\) m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài hai cạnh của thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là \(x,{\rm{ y}}\) (m), \(\left( {x,{\rm{ y  >  }}0} \right)\).

Giả sử cạnh \(y\) giáp với con sông.

Do hàng rào thép dài \(240\) m nên ta có \(2x + y = 240\). Suy ra \(x \le 120\).

Diện tích của thửa ruộng là \(S = xy = x\left( {240 - 2x} \right) = 240x - 2{x^2}\)

Ta có \(S' = 240 - 4x\) khi đó \(S' = 0 \Leftrightarrow 240 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 60\) suy ra \(y = 240 - 2 \cdot 60 = 120\).

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là \(S\left( {60} \right) = 60 \cdot 120 = 7200\).

Vậy thửa ruộng có diện tích lớn nhất là \(7200\) m² (khi cạnh giáp sông và cạnh đối diện nó có độ dài \(120\) m, độ dài hai cạnh còn lại là \(60\)m.

Giải bài 1.42 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic \(R = R\left( x \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - x}}}},x \ge 0\), trong đó thời gian \(x\) được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

Lời giải chi tiết

Hàm biểu thị tốc độ bán hàng là \(R'\left( x \right) = \frac{{25000{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2}}},{\rm{ x}} \ge 0\).

Tốc độ bán hàng tối đa khi \(R'\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(R'\left( x \right)\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(R''\left( x \right) =  - 25000 \cdot \frac{{{e^{ - x}}{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2} + {e^{ - x}} \cdot 2\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right) \cdot 5{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^4}}} = \frac{{25000\left( {5{e^{ - x}} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^3}}}\)

Khi đó \(R''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{25000\left( {5{e^{ - x}} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {5{e^{ - x}} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln 5\).

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra \(R'\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \ln 5 \approx 1,61\). Vậy tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ hai.

Giải bài 1.43 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là cm³. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi cạnh đáy của hình hộp là cm, .

Do thể tích chiếc hộp là cm³  nên chiều cao chiếc hộp là (cm).

Suy ra, tổng diện tích bề mặt chiếc hộp là .

Lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp nhỏ nhất khi tổng diện tích bề mặt chiếc hộp nhỏ nhất hay đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có khi đó .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra đạt giá trị nhỏ nhất tại , khi đó .

Vậy khi hộp có cạnh đáy cm và chiều cao là cm thì lượng vật liệu dùng để sản xuất hộp nhỏ nhất.

Giải bài 1.44 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc km/h và đi bộ với vận tốc km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi vị trí hòn đảo là B và vị trí thuyền neo đậu trên bờ là C.

Ta cần tìm vị trí điểm C trên đoạn PA sao cho thời gian thuyền đi từ đảo vào bờ (đoạn BC) và đi bộ tiếp từ C đến thị trấn A (đoạn CA) là ngắn nhất.

Gọi đoạn PC = x (km) với .

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BPC vuông tại P có: (km).

Thuyền đi với vận tốc 2,5 km/h nên thời gian đi hết đoạn BC là (giờ).

Ta có: AC = PA – x = 12 – x (km).

Người đi bộ với vận tốc 4 km/h nên thời gian đi hết đoạn AC là (giờ).

Tổng thời gian người đó đi từ đảo đến thị trấn A là: (giờ).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm T(x) trên đoạn [0;12].

Ta có: .

.

Giải phương trình trên ta được là giá trị thỏa mãn điều kiện.

Bảng biến thiên:

Vậy điểm neo đậu thuyền trên đoạn PA cách P khoảng 2,4 km để thời gian di chuyển là ngắn nhất.

Giải bài 1.45 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích \(V\) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là \(r\), \(r > 0\). Khi đó diện tích một đáy hình trụ là \(\pi {r^2}\).

Suy ra chiều cao của hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).

Do đó diện tích bề mặt hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r\frac{V}{{\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\)

Xét hàm số  \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r},r > 0\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(S\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(S' = 4\pi r - \frac{{2V}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\) khi đó \(S' = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}} = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), ta thấy chiều cao hình trụ khi đó là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}} = \frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}} = \frac{V}{{\left( {\pi  \cdot \frac{{{V^{\frac{2}{3}}}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^{\frac{2}{3}}}}}} \right)}} = \frac{V}{{\frac{{\sqrt[3]{\pi }}}{{\sqrt[3]{4}}} \cdot {V^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{{\sqrt[3]{V} \cdot \sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{\pi }}} = \frac{{2\sqrt[3]{V}}}{{\sqrt[3]{{2\pi }}}} = 2r\).

Vậy để vật liệu sản xuất thùng ít nhất thì chiều cao gấp đôi bán kính đáy (điều phải chứng minh).

Giải bài 1.46 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Ở \({0^ \circ }C\), sự mất nhiệt \(H\) (tính bằng Kcal/m²h, ở đây Kcal là kilocalories và 1 Kcal=1000 calo) từ cơ thể của một người có thể được mô hình hóa bằng công thức

\(H = 33\left( {10\sqrt v  - v + 10,45} \right),\)

Trong đó \(v\) là tốc độ gió (tính bằng m/s) (Theo sách Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).

a) Xét tính đơn điệu của hàm số \(H\) và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được.

b) Tìm tốc độ thay đổi của \(H\) khi \(v = 2\) m/s. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(H\left( v \right) = 33\left( {10\sqrt v  - v + 10,45} \right)\).

Ta có \(H'\left( v \right) = 33\left( {\frac{5}{{\sqrt v }} - 1} \right),{\rm{ v  >  }}0\). Khi đó \(H'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow 33\left( {\frac{5}{{\sqrt v }} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow v = 25\).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(H\) đồng biến trên khoảng \(\left( {25; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;25} \right)\)

Do đó, mức nhiệt mất từ cơ thể tăng khi tốc độ gió tăng không vượt quá 25 m/s, đạt tối đa ở mức gió 25 m/s và sau đó giảm dần khi tốc độ gió tiếp tục tăng.

b) Ta có \(H'\left( 2 \right) = 33\left( {\frac{5}{{\sqrt 2 }} - 1} \right) \approx 83,673\).

Điều này có nghĩa là mức nhiệt của cơ thể mất tiếp khi vận tốc gió tăng từ \(2\) m/s lên \(3\) m/s là khoảng \(83,673\) (Kcal/m²h).

Giải bài 1.47 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Doanh thu \(R\) (USD) từ vệc cho thuê \(x\) căn hộ có thể được mô hình hóa bằng hàm số

\(R = 2x\left( {900 + 32x - {x^2}} \right)\).

a) Tìm hàm doanh thu biên.

b) Tìm doanh thu biên khi \(x = 14\) và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó.

c) Tìm lượng doanh thu tăng thêm khi số căn hộ cho thuê tăng từ \(14\) lên \(15\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm doanh thu biên là \(R' = 1800 + 128x - 6{x^2}\).

b) Hàm doanh thu biên khi \(x = 14\) là \(R'\left( {14} \right) = 1800 + 128 \cdot 14 - 6 \cdot {14^2} = 2416\).

Điều này nghĩa là doanh thu tăng thêm khi cho thuê một căn hộ nữa (tức là cho thuê căn hộ thứ 15) là khoảng \(2416\) USD.

c) Doanh thu khi cho thuê 14 căn hộ là \(R\left( {14} \right) = 2 \cdot 14\left( {900 + 32 \cdot 14 - {{14}^2}} \right) = 32256\) (USD).

Doanh thu khi cho thuê 15 căn hộ là \(R\left( {15} \right) = 2 \cdot 15\left( {900 + 32 \cdot 15 - {{15}^2}} \right) = 34650\) (USD).

Ta có \(R\left( {15} \right) - R\left( {14} \right) = 2394\). Do đó khi số căn hộ cho thuê tăng từ 14 lên 15 thì doanh thu tăng thêm \(2394\) USD, xấp xỉ với mức đã tính ở ý b.

Giải bài 1.48 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một công ty ước tính rằng chi phí $C$ (USD) để sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức

$C=800+0,04x+0,0002x^2$.

Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có ,

Chi phí trung bình nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm để nhỏ nhất.

Ta có .

Khi đó vì .

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi .

Vậy với mức sản xuất thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.

Giải bài 1.49 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

a) Nếu \(C\left( x \right)\) (USD) là chi phí sản xuất \(x\) đơn vị hàng hóa, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\). Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình.

b) Nếu \(C\left( x \right) = 16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}\), hãy tìm:

(i) Chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên khi sản xuất \(100\) đơn vị hàng hóa;

(ii) Mức sản xuất mà khi đó sẽ giảm thiểu chi phí trung bình;

(iii) Chi phí trung bình nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overline {C'} \left( x \right) = {\left[ {\frac{{C\left( x \right)}}{x}} \right]^\prime } = \frac{{C'\left( x \right) \cdot x - C\left( x \right)}}{{{x^2}}}\).

Chi phí trung bình nhỏ nhất khi \(\overline {C'} \left( x \right) = 0\) hay \(C'\left( x \right) \cdot x - C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow C'\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\).

Nói cách khác chi phí biên bằng chi phí trung bình.

b) Xét hàm số \(C\left( x \right) = 16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}\).

Ta có hàm chi phí trung bình là \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}}}{x} = \frac{{16000}}{x} + 200 + 4{x^{\frac{1}{2}}}\).

Hàm chi phí biên là \(C'\left( x \right) = 200 + 6{x^{\frac{1}{2}}}\).

(i) Ta có \(C\left( {100} \right) = 16000 + 200 \cdot 100 + 4 \cdot {100^{\frac{3}{2}}} = 40000\); \(\overline C \left( {100} \right) = \frac{{16000}}{{100}} + 200 + 4 \cdot {100^{\frac{1}{2}}} = 400\);

\(C'\left( {100} \right) = 200 + 6 \cdot {100^{\frac{1}{2}}} = 260\).

Vậy chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên ở mức sản xuất 100 đơn vị hàng hóa lần lượt là \(40000\) USD, \(400\) USD và \(260\) USD.

(ii) Ta có \(\overline {C'} \left( x \right) = \frac{{ - 16000}}{{{x^2}}} + 2{x^{ - \frac{1}{2}}}\) khi đó \(\overline {C'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 16000}}{{{x^2}}} + 2{x^{ - \frac{1}{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 400\) do \(x > 0\).

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra, mức sản xuất là 400 đơn vị hàng hóa thì sẽ giảm thiểu giá trị trung bình.

(iii)  Chi phí trung bình nhỏ nhất là 320 USD.

Giải bài 1.50 trang 33 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Cho là hàm chi phí và là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa hóa lợi nhuận.

Lời giải chi tiết

a) Ta có hàm lợi nhuận trong đó là doanh thu và là chi phí.

Khi lợi nhuận đạt cực đại tại thì hay . Nói cách khác doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Ta có hàm lợi nhuận

Suy ra khi đó do .

Lập bảng biến thiên

Vậy mức sản xuất tối đa là 100 đơn vị hàng hóa.