Bài 6.11 trang 19

Đề bài

Cho đồ thị của hai hàm số $y = \log_{a} x$ ; $y = \log_{b} x$ lần lượt là (C₁) và (C₂) (Hình 6.16). Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b, biết mọi đường thẳng song song với trục tung, cắt trục hoành, (C₁), (C₂) lần lượt tại H, A, B thì A là trung điểm của BH.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

A là trung điểm của BH nên $y_{B} = 2 y_{A}$

Theo đồ thị trên hình vẽ thì $x_{A} = x_{B} = x_{H}$

Áp dụng: $\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$ .

Lời giải chi tiết

Gọi điểm $H (x_{H}; 0)$ , $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$

A là trung điểm của BH nên $y_{B} = 2 y_{A}$

Theo đồ thị trên hình vẽ thì $x_{A} = x_{B} = x_{H}$

Ta có điểm A thuộc (C₁) nên $y_{A} = \log_{a} x_{A} \Leftrightarrow a^{y_{A}} = x_{A}$

Điểm B thuộc (C₂) nên $y_{B} = \log_{b} x_{B} \Leftrightarrow b^{y_{B}} = x_{B} \Leftrightarrow b^{2 y_{A}} = x_{A}$

$\Rightarrow {(b^{2})}^{y_{A}} = a^{y_{A}} \Leftrightarrow b^{2} = a$