Bài 6.22 trang 24

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) $0, 1^{2 - x} > 0, 1^{4 + 2 x}$ ;

b) ${2.5}^{2 x + 1} \leq 3$ ;

c) $\log_{3} (x + 7) \geq - 1$ ;

d) $\log_{0, 5} (x + 7) \geq \log_{0, 5} (2 x - 1)$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Xét bất phương trình mũ $a^{x} > b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

- Nếu $b \leq 0$ , tập nghiệm là $R$ .

- Nếu $b > 0$ , bất phương trình tương đương với $a^{x} > a^{\log_{a} b}$ .

+ Với $a > 1$ , nghiệm của bất phương trình là $x > \log_{a} b$ (giữ nguyên chiều của bất phương trình).

+ Với $0 < a < 1$ , nghiệm của bất phương trình là $x < \log_{a} b$ (đổi chiều của bất phương trình).

Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

* Xét bất phương trình logarit $\log_{a} x > b$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

ĐK: $x > 0$ .

Bất phương trình tương đương với $\log_{a} x > \log_{a} a^{b}$ .

+ Với $a > 1$ , nghiệm của bất phương trình là $x > a^{b}$ (giữ nguyên chiều của bất phương trình).

+ Với $0 < a < 1$ , nghiệm của bất phương trình là $0 < x < a^{b}$ (đổi chiều của bất phương trình).

Các bất phương trình logarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

Lời giải chi tiết

a) $0, 1^{2 - x} > 0, 1^{4 + 2 x}$

$\Leftrightarrow 2 - x < 4 + 2 x$ (vì 0 < 0,1 < 1)

$\Leftrightarrow 3 x > - 2$

$\Leftrightarrow x > \frac{- 2}{3}$ .

b) ${2.5}^{2 x + 1} \leq 3$

$\Leftrightarrow 5^{2 x + 1} \leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2 x + 1 \leq \log_{5} \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2 x \leq \log_{5} \frac{3}{2} - 1$

$\Leftrightarrow x \leq \frac{1}{2} (\log_{5} \frac{3}{2} - 1) = \frac{1}{2} . \log_{5} \frac{3}{10} = \log_{5} \frac{\sqrt{30}}{10}$ .

c) $\log_{3} (x + 7) \geq - 1$ (ĐK: x > -7)

$\Leftrightarrow x + 7 \geq 3^{- 1}$

$\Leftrightarrow x + 7 \geq \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow x \geq \frac{- 20}{3}$ .

Kết hợp điều kiện ta có $x \geq \frac{- 20}{3}$ .

d) $\log_{0, 5} (x + 7) \geq \log_{0, 5} (2 x - 1)$ (ĐK: $x > \frac{1}{2}$ )

$\Leftrightarrow x + 7 \leq 2 x - 1$ (vì 0 < 0,5 < 1)

$\Leftrightarrow x \geq 8$ .

Kết hợp điều kiện ta có $x \geq 8$ .