Bài 6. Cấp số cộng

Giải bài 2.11 trang 36 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Mỗi dãy số $\left(u_n\right)$ sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó:

a) $u_n=4-3n$;                                  

b) $u_n=n^2+1$;

c) ;                                 

d) .

Lời giải chi tiết

a) nên .

Do đó, .

Vậy dãy số trên là cấp số cộng với số hạng đầu là 4, công sai là

b) nên .

Do đó, , phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số trên không là cấp số cộng.

c) nên .

Do đó, .

Vậy dãy số trên là cấp số cộng.

d) Từ hệ thức truy hồi ta có , phụ thuộc vào n. Vậy dãy số không là cấp số cộng.

Giải bài 2.12 trang 36 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm số hạng thứ tám của một cấp số cộng là 75 và số hạng thứ hai mươi là 39.

a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng                    

b) Tìm hệ thức truy hồi cho cấp số cộng.

c) Tìm công thức số hạng thứ n của cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

b) Hệ thức truy hồi của cấp số cộng:

c) Công thức tổng quát của cấp số cộng này là:

Giải bài 2.13 trang 36 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tổng của 20 số hạng đầu của một cấp số cộng với công sai bằng 3 là 650. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng này

Lời giải chi tiết

Tổng của 20 số hạng đầu của một cấp số cộng với công sai bằng 3 là 650 nên

Giải bài 2.14 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm x để và là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

Vì và là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên

Thử lại, ta có ba số tìm được là 2, 5, 8 thỏa mãn bài toán. Vậy

Giải bài 2.15 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của một cấp số cộng có số hạng đầu là 78 và công sai là để được tổng là 702?

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng ta có:

Suy ra hoặc , tức là ta cần lấy 13 hoặc 27 số hạng đầu.

Giải bài 2.16 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 2,4m ở đáy và rộng 1,2m ở đỉnh (hình vẽ bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường?

Lời giải chi tiết

Đổi

Số viên gạch ở hàng đầu tiên (ứng với đáy lớn là)

Số gạch ở hàng trên cùng (ứng với đáy nhỏ) là:

Vì mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên ta thư được cấp số cộng có công sai

Như vậy,

Vậy số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là:

(viên gạch)

Giải bài 2.17 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó.

a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng?

b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?

Lời giải chi tiết

Công thức của cấp số cộng biểu thị số viên gạch cho mỗi bậc cầu thang như sau:

\({u_1} = 100;{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( { - 2} \right)\) với \(n \ge 2\)

a) Ta tính \({u_{30}} = {u_1} + \left( {30 - 1} \right)\left( { - 2} \right) = 42\)

b) Ta tính \({S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ... + { u_{30}} = \frac{{30}}{2}\left[ {2.100 + \left( {30 - 1} \right)\left( { - 2} \right)} \right] = 2\;130\)

Giải bài 2.18 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết rằng góc khán đài có 2 040 chỗ ngồi, hàng đầu tiên có 10 chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm 4 chỗ ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với $S_n=2040,u_1=10,d=4$ để tìm n, ta được:

$2040=\frac{n}{2}\left[2.10+\left(n-1\right)4\right]\iff n\left(20+4n-4\right)=4080$

$\iff 4n^2+16n-4080=0\iff [\begin{array}{c}n=30\left(tm\right)\\ n=-34\left(L\right)\end{array}$

Do đó, góc khán đài có 30 hàng ghế.

Giải bài 2.19 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nếu anh Nam nhận lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35 000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1 400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319 200 đô la?

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với ta có:

Vậy sau 8 năm làm được thì tổng lương mà anh Nam nhận được là 319 200 đô la

Giải bài 2.20 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nếu p, m và q lập thành một cấp số cộng thì dễ thấy $m=\frac{p+q}{2}$. Số m gọi là trung bình cộng của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác $m_1,m_2,...,m_k$ sao cho lập thành một cấp số cộng, chúng ta nói rằng ta đã “chèn k trung bình cộng vào giữa p và q”

a) Hãy chèn ba trung bình cộng vào 4 và 12.

b) Tìm bốn trung bình cộng nằm giữa 16 và 91

Lời giải chi tiết

a) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12 thì ta được cấp số cộng có và Theo tính chất của cấp số cộng nên

Vậy chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12 ta được cấp số cộng là 4, 6, 8, 10, 12.

b) Theo định nghĩa, chèn bốn trung bình cộng vào giữa 16 và 91 thì ta được cấp số cộng có và Theo tính chất của cấp số cộng nên

Vậy chèn bốn trung bình cộng vào giữa 16 và 91 ta được cấp số cộng là 16, 31, 46, 61, 76, 91.