Bài 6. Phép vị tự

Câu 25 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Các phép sau đây có phải là phép vị tự hay không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất, phép tịnh tiến theo vectơ khác \(\vec 0\)? 

Lời giải chi tiết

Phép đối xứng tâm qua O là phép vị tự tâm O tỉ số -1

Phép đối xứng trục không phải là phép vị tự vì các đường thẳng nối cặp điểm tương ứng không đồng quy

Phép đồng nhất là phép vị tự với tâm là điểm bất kì và tỉ số \(k = 1\)

Phép tịnh tiến theo vecto khác \(\vec 0\) không phải là phép vị tự vì không có điểm nào biến thành chính nó

trithuchub.com

Câu 26 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 27 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 28 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và (O') ở N sao cho M là trung điểm của AN

Lời giải chi tiết

Giả sử đã dựng được đường thẳng d theo yêu cầu của bài toán.

Vì M là trung điểm AN nên \(\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AM} \)

Như vậy, gọi V là phép vị tự tâm A tỉ số 2 thì V biến M thành N

Nếu V biến (O) thành (O”) thì (O”) phải đi qua N

Vậy N là giao điểm của hai đường tròn (O’) và (O”)

Từ đó suy ra cách dựng:

- Dựng \(\left( {O''} \right) = {V_{\left( {A;2} \right)}}\left( {\left( O \right)} \right)\)

- Gọi N = (O’) ∩ (O”), M = AN ∩ (O)

Từ đó ta được hai điểm cần tìm.

 trithuchub.com

Câu 29 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N

Lời giải chi tiết

Đặt \(IO = d (d ≠ 0)\). Theo tính chất đường phân

giác của tam giác MOI, ta có:

\({{IN} \over {NM}} = {{IO} \over {OM}} = {d \over R}\)

Suy ra \({{IN} \over {IN + NM}} = {d \over {d + R}} \Leftrightarrow {{IN} \over {IM}} = {d \over {d + R}}\)

Vì hai vecto \(\overrightarrow {IN} \) và \(\overrightarrow {IM} \) cùng hướng nên đẳng

thức trên có nghĩa là:\(\overrightarrow {IN} = {d \over {d + R}}\overrightarrow {IM} \)

Nếu gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số \(k = {d \over {d + R}}\) thì V biến điểm M thành điểm N

Khi M ở vị trí M₀trên đường tròn (O ; R) sao cho \(\widehat {IO{M_0}} = {0^ \circ }\) thì tia phân giác của góc \(\widehat {IO{M_0}}\) không cắt IM. Điểm N không tồn tại.

Vậy khi M chạy trên (O ; R) (M khác hẳn M₀) thì quỹ tích điểm N là ảnh của (O ; R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M₀

trithuchub.com

Câu 30 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O') có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (O") thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O') lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Kéo dài BC cắt (O’) tại B’

Vì C là tâm vị tự trong của (O’) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O'B'} \) và \(\overrightarrow {O''B} \) ngược hướng

Vì B là tâm vị tự trong của (O) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O''B} \) và \(\overrightarrow {OB} \) ngược hướng

Vậy hai vecto \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {O'B'} \) cùng hướng

(cùng ngược hướng với \(\overrightarrow {O''B} \))

Từ đó suy ra đường thẳng BB’, cũng chính là đường thẳng BC, luôn đi qua điểm cố định là tâm vị tự ngoài I của (O) và (O’)

Cách 2:

Kéo dài BC cắt (O') tại B', cắt OO' tại I. Ta chứng minh I là điểm cố định.

Ta có: \( \angle OBI =\angle O''BC \) (hai góc đối đỉnh)

         \( \angle O''BC = \angle O''CB \) ( tam giác O''BC cân tại O'')

         \( \angle O''CB =\angle O'CB' \) (hai góc đối đỉnh)

         \( \angle O'CB' = \angle O'B'C = \angle O'B'I \)

\(\Rightarrow \angle OBI= \angle O'B'I\). Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

\(\Rightarrow OB // O'B' \Rightarrow {{IO} \over{IO'}}= {OB \over O'B'}\) cố định

Do đó I là tâm vị tự biến O thành O' tỉ số \({OB \over O'B'}\)

Vậy BC luôn đi qua điểm I cố định

 trithuchub.com